Chương I. §8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

CHÀO MỪNG QUÍ THẦY CÔ VỀ DỰ CHUYÊN ĐỀ
TOÁN 8
Giáo viên: VO~ VAN NINH
PHÒNG GIÁO DỤC CHÂU THÀNH
TRÖÔØNG THCS HÒA MINH B
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
CHUYÊN ĐỀ
Phân tích đa thức thành nhân tử
I. LỜI NÓI ĐẦU
Trong môn đại số 8, phương pháp nhân và phương pháp chia các đa thức là cơ sở của phép biến đổi các biểu thức đại số, trong đó phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài học mà học sinh phải nắm làm cơ sở cho giải phương trình, bất phương trình sau này. Vì vậy, tôi viết chuyên đề này mong giúp học sinh khối 8 yêu thích môn toán qua các bài toán phân tích thành nhân tử một cách thành thạo ở những phương pháp đơn giản, và cũng dành cho học sinh khá, giỏi những phương pháp mới để giải toán.
Tôi hy vọng sẽ góp phần giúp các em có kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử được tốt hơn.
II. PHƯƠNG PHÁP:

1./ Phương pháp đặt nhân tử chung:
Hệ số của nhân tử chung là ước chung lớn nhất của các hệ số của các hạng tử.
Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó. Muốn tìm hạng tử trong ngoặc ta lấy từng hạng tử của đa thức chia cho nhân tử chung.
VD : Phân tích đa thức 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử:
14x2y – 21xy2 + 28x2y2 =
7xy
(2x – 3y + 4xy)
Chú ý : A = - ( - A ) ; A – B = - (B – A)
Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử
1./ Phương pháp đặt nhân tử chung:

Bài tập vận dụng:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x(x - 1) - 3x(x - 1)
b) x(x + y) - 5x - 5y
c) x(x - y) + y(y - x)
d) x2 + xy + x
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Dùng hằng đẳng thức đã học vào phân tích thành nhân tử
Vd: x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2 )2
x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3
Tuy nhiên ta cần phải vận dụng mối quan hệ giữa các hằng đẳng thức
(a + b)2 và (a - b)2; (a + b)3 và a3 + b3;
(a - b)3 và a3 – b3 nếu cần.
Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập vận dụng:
a) 9x2 + 6xy + y2
b) 6x - 9 - x2
c) 4x2 - 25
d) (x + y)2 - (x - y)2
e) x6 - y6
f) x3 + y3 + z3 - 3xyz
g) (x + y)3 - (x - y)3
Phân tích đa thức thành nhân tử
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Nhóm những hạng tử thích hợp vào một nhóm có thể phân tích được. Quá trình phân tích được tiếp tục sau khi phân tích đa thức ở mỗi nhóm.Mục đích của việc nhóm hạng tử là để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức
Vd : x2 + xy – 3x – 3y = x(x + y) – 3(x + y)
= (x + y)(x – 3 )
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
=(x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y )(x +2 + y)

3./ Phương pháp nhóm hạng tử:
Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập vận dụng :
a) x2 - xy - y2 - y
b) x2 - 2x - y2 + 1
c) x2 + 4x - 4y2 + 4
d) 5x - 5y + ax - ay
e) xz - yz - x2 + 2xy - y2
Phân tích đa thức thành nhân tử
3./ Phương pháp nhóm hạng tử:
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Phối hợp hòa hợp giữa các phương pháp:Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử để giải.
Vd :
2x2 + 4x +2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2)
=2[(x + 1)2 –y2]
= 2(x +1 + y)(x + 1 – y)
x3 - 4x2 – 12x + 27 = (x3 + 27) – (4x2 + 12x)
= (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 4x(x + 3)
= (x + 3)(x2 – 7x + 9)

Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu sử dụng các phương pháp trên thì trên thực tế chưa giải quyết được các bài toán như :
x4 + 1; x2 + 5x – 6 ;x5 + x + 1.
Vì vậy, ta còn một số phương pháp như sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Bài tập:
a) x4 + 2x3 + x2 d) 2x(x + 5) - x2 - 5x
b) x2- 9x3 + x2 - 9x e) x2 + (x - 2 )2 - 4
c) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20 z2
5. Phương pháp tách hạng tử
Đối với tam thức bậc 2: ax2 + bx + c có một cách giúp học sinh tách hạng tử rất hiệu quả là tách hạng thử bậc nhất bx thành b1x + b2x.
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac mà tổng bằng b.
Phân tích đa thức thành nhân tử
Vd : x2 + 5x – 6 = x2 – x + 6x – 6
= x(x – 1) + 6(x – 1)
= (x – 1)(x + 6)
Ngoài phương pháp tách hạng tử bậc nhất ta còn có thể tách hạng tử bậc 0.
Vd: x2 + 5x – 6 = x2 + 5x – 5 – 1
= (x – 1 )(x + 1) + 5(x – 1)
= (x – 1 ) (x + 6)
Phân tích đa thức thành nhân tử
5. Phương pháp tách hạng tử
Đối với đa thức không phải là tam thức bậc 2 ta vẫn có thể tách hạng tử.
Vd1 : x2 + 3xy + 2y2 =x2 + xy +2xy +2y2
= x(x + y) + 2y(x +y) = (x + y)(x + 2y)
Vd 2: xy(x +y) + yz( y +z) + xz(x + z) + 2xyz =
= [xy( x + y) + xyz] + [yz(y + z) + xyz] + xz(x + z)
= xy(x + y + z) + yz( x + y + z) + xz(x + z)
= (x + y + z)y(x + z) + xz(x + z)
= (x + z)(yz + y2 + xy + xz)=(x + z)[y(y + z) + x(y + z)]
= (x + y)(y + z)(z + x)
Phân tích đa thức thành nhân tử
5. Phương pháp tách hạng tử
Vd3:
x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 – x4
= (x4 + 1)2 – x4
= (x4 + 1 + x2)(x4 +1 – x2)
= (x4 + 2x2 +1 – x2)(x4 + 1 – x2)
= [(x2 + 1)2 – x2](x4 + 1 – x2)
= (x2 + x + 1)( x2 – x +1)(x4 + 1 – x2)
Phân tích đa thức thành nhân tử
5. Phương pháp tách hạng tử
Đặc biệt :
Với f(x) = x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
g(x) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
= (x + a)(x + b)(x + c)
Vd : x2 + 5x + 6 = x2 + (2 +3)x + 2.3
= (x + 2)(x + 3)
x3 + 6x2 +11x + 6 =
= x3 + (1 +2 + 3)x2 + ( 1.2 + 1.3 + 2.3)x + 1.2.3
= (x + 1)( x+ 2)(x + 3)
5. Phương pháp tách hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập :
a) 3x2 + 5x - 2
b) 5x2 + 6xy + y2
c) -14x2 + 39x - 10
d) x3 + 2x2 -25x - 50
e) 4x3 - 14x2 + 6x
f) x3 + 4x2 - 29x + 24 g) x3 + 21x2 + 134x +240
Phân tích đa thức thành nhân tử
5. Phương pháp tách hạng tử
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Trong một số trường hợp phải thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Vd1: x4 + 4 = (x2)2 + 2.x2.2 + 4 – 2.x2.2
= ( x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 +2 – 2x)
Phân tích đa thức thành nhân tử
Vd2
x5+ x + 1 = x5 – x2 + x2 + x +1
= x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x +1)
= (x2 + x + 1)( x3 – x2 +1)
Ña thöùc coù daïng xa + xb + 1 thöôøng ñeàu chöùa nhaân töû x2 + x + 1 do ñoù ñeå phaân tích caùc ña thöùc naøy ta theâm bôùt haïng töû thích hôïp hoaëc thöïc hieän pheùp chia.
Phân tích đa thức thành nhân tử
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Bài tập:
a) x4 + 64
b) x4 + 4y4
c) x5 + x4 +1
d) x8 + x4 +1
e) x7 + x2 + 1
f) x10 + x5 + 1
g) x3 + y3 + z3 - 3xyz
Phân tích đa thức thành nhân tử
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử.
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
a) Định lí
?Định lí Bê - du:
Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-a) thì dư của phép chia là f(a) tức là bằng giá trị của đa thức khi x = a.
Theo hệ quả định lí Bê-du, nếu khi x =a là một nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho nhị thức (x - a).
Phân tích đa thức thành nhân tử
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
?Định lí nghiệm nguyên:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử độc lập a0.
Đặc biệt:
+ Nếu an + an-1 + . + a0 = 0 => f(1) = 0 , tức là đa thức có nghiệm x = 1.
+ Nếu (a2n + a2n-2 + .+ a0) - (a2n-1 + a2n-3 + .+ a1) = 0 => f(-1) = 0 tức là đa thức có nghiệm x = -1.
Phân tích đa thức thành nhân tử
VD : Phân tích đa thức f(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Ta có (2 - 6) - (1 - 5 ) = 0
Vậy đa thức có một nghiệm x = -1.
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho (x + 1 ) ta được:
q(x) = x2 + x - 6
F(x) = (x + 1)( x2 + x - 6)
= (x + 1)(x2 - 2x + 3x - 6)
= (x + 1)(x - 2)(x + 3)
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
Phân tích đa thức thành nhân tử
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
+Đối với đa thức nhiều biến f(x,y) nhận giá trị bằng 0 khi x = y thì f(x,y) chia hết cho (x - y)
VD : Phân tích đa thức thành nhân tử
yz(y -z) + xz(x - z) + xy(x - y)
Thay x = y => f(x,y,z) = 0,
y = z => f(x,y,z) = 0 ;
x = z => f(x,y,z) = 0
Vậy đa thức có thể viết dưới dạng :
f(x,y,z)= k(x - y)(y - z)(x - z)
? yz(y -z) + xz(x - z) + xy(x - y) = k(x - y )(y - z )(x - z )
Ta xét y2z trong vế phải và - ky2z trong vế trái => k = -1
Vậy f(x,y,z) = -(x - y)(y - z)(x - z)
Phân tích đa thức thành nhân tử
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
b./ Sơ đồ Horner
Để tính các hệ số trong đa thức thương và dư trong phép chia đa thức
F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 cho x - ?
Giả sử f(x) = (x - ? ).g(x) + r
Với g(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + . +b2x + b1 ta có sơ đồ sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử
Sơ đồ horner
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
Phân tích đa thức thành nhân tử
VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F(x) = 2x4 - 3x2 + 4x -12
Ta xét thấy x=-2 là nghiệm của f(x)
Vậy f(x) = (x + 2)(2x3 - 4x2 + 5x - 6)
Nếu F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 (an ? 0) có n nghiệm là x1,x2,...,xn thì f(x) = an(x-x1)(x-x2)...(x-xn).
Phân tích đa thức thành nhân tử
c) Tìm nghiệm qua máy tính bỏ túi Fx500MS,Fx570MS,Fx500ES:
Nếu F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 (an ? 0) có n nghiệm là x1,x2,...,xn thì f(x) = an(x-x1)(x-x2)...(x-xn).
? Đối với phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a?0)
Ta gọi chương trình EQN - 1 Degree 2 rồi nhập hệ số a,b,c
Phân tích đa thức thành nhân tử
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
c) Tìm nghiệm qua máy tính bỏ túi Fx500ES,Fx570MS,Fx500ES:
VD : f(x)= x2 + 3x + 2
có nghiệm là

Nên f(x) = x2 + 3x + 2 =

Đối với phương trình bậc 3 : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta gọi chương trình EQN - 1 Degree 3 rồi nhập các hệ số a,b,c,d
Phân tích đa thức thành nhân tử
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức:
VD: x3 - 2x2 - x + 2 có nghiệm là
x1 = -1; x2 = 2; x3 = 1
Nên x3 - 2x2 - x + 2 = (x +1 )(x - 2)(x - 1)
Hạn chế của việc dùng máy tính là chỉ sử dụng khi phân tích các đa thức 1 biến bậc 2 và bậc 3 không phân tích được các đa thức có bậc cao hơn.
Bài tập:
a) x3 + 3x2 + 3x + 2
b) x3 - x2 - 8x + 12
c) x3 - 3x2 + 6x - 4
d) x3 - 9x2 + 15x + 25
e) 2x4 + x3 - 22x2 + 15x - 36
Phân tích đa thức thành nhân tử
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ:

Xét ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x)= x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giải
f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x +24) + 128
Đặt y = x2 + 10x + 12
Thì ta được đa thức có dạng như sau:
f (y) = (y - 12)(y + 12) + 128
= y2 - 16 = (y + 4)(y - 4)
hay f(x) = (x2 + 10x + 16)(x2 +10x + 8)
=(x + 2)(x + 8)(x2 + 10x +8)
Nhận xét phương pháp: nhờ đặt ẩn phụ mà ta đã đưa đa thức
bậc 4 ẩn x trở thành đa thức bậc 2 với ẩn y
Phân tích đa thức thành nhân tử
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ:

VD2: Phân tích đa thức thành nhân tử
G(x) =(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
Giải
G(x) = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
Đặt y= x2 + 7x + 10 ta được :
G(y) = y(y + 2) - 24 = y2 + 2y - 24
= y2 + 6y - 4y - 24
= (y + 6)(y - 4)
Thay y = x2 + 7x + 10 được:
G(x) = (x2 + 7x +16)(x2 + 7x + 6)
= (x+ 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)
Phân tích đa thức thành nhân tử
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ:

Bài tập:
a) (x2 - 3x - 1)2 - 12(x2 - 3x - 1 ) + 27
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
c) (x2 + x) + 4x2 + 4x - 12
d) (x2 + x +1)(x2 + x+ 2) -12
e) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
Phân tích đa thức thành nhân tử
9./ Phương pháp hệ số bất định
VD :Phân tích đa thức thành nhân tử:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nếu phân tích dược thành nhân tử thì đa thức có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
Phép nhân có kết quả sau:
x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc )x + bd
Phân tích đa thức thành nhân tử
9./ Phương pháp hệ số bất định

Ta đồng nhất biểu thức này với biểu thức đã cho ta được:
a + c = - 6
ac + b + d =12
ad + bc = - 14
bd = 3
Xét bd =3 với b,d ??�1;�3?
Với b = 3 thì d = 1, ta được:
a + c = - 6
ac = 8
a + 3c = - 14
Suy ra 2c = - 14 - (- 6 ) = - 8
Do đó c = - 4 ; a = - 2
Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 =(x2 - 2x + 3)(x2 - 4x +1)
Phân tích đa thức thành nhân tử
9./ Phương pháp hệ số bất định
Bài tập:
a) x3 + 2x2 - 2x - 12
b) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1
Phân tích đa thức thành nhân tử
III. KẾT LUẬN

Trên đây là một số phương pháp phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng theo kịp và tiếp thu hết các phương pháp trên. Tùy đối tượng học sinh ta sẽ vận dụng phù hợp và linh hoạt để tạo cho học sinh hứng thú và thích học môn toán.
Phân tích đa thức thành nhân tử