Chương I. §6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
Môn: Đại số 8
Giáo viên dạy: Quưn
1. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường :
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
c. Nhóm các hạng tử
d.Phối hợp các phương pháp trên
I. Một số kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử
3. Các phương pháp khác
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Thêm, bớt cùng một hạng tử
Đặt ẩn phụ
Dùng phương pháp hệ số bất định
Nhẩm nghiệm
II. Phương pháp: "Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử" :
Phương pháp này thường được áp dụng để phân tích các đa thức có dạng:
x2 + px +q hoặc ax2 + bx + c ( a 0; a 1 ) thành nhân tử.
1. Trước tiên ta xét dạng toán phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử:
1> Phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử:
Nếu hệ số p có thể tách được p = m + n sao cho m.n = q thì khi đó ta có thể viết lại đa thức : x2 + px + q
= x2 + ( m + n)x + m.n
= ( x + m )( x + n ).
* Ví dụ 1> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 7x + 10 b) x2 - 9x + 20 c) x2 + 13x + 36
Giải
x2 + 7x + 10
= x2 + ( 2 + 5 )x + 2.5
= ( x + 2 )( x + 5 )
b) x2 - 9x + 20
= x2 + ( - 4 - 5)x + ( - 4 )( -5 )
= ( x - 4 )( x - 5 )
c) x2 + 13x + 36
= x2 + ( 4 + 9 )x + 4.9
= ( x + 4 )( x + 9 )
2> Phân tích đa thức ax2 + bx + c ( với a 0; a 1) thành nhân tử.
* Cách làm:
Bước 1: Lấy tích a.c = t
Bước 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi. qi
Bước 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pk , qk sao cho pk + qk = b.
Bước 4: Viết ax2 + bx + c = ax2 + pk x + qkx + c
Bước 5: Nhóm số hạng và đưa nhân tử chung ra ngoài
Ví dụ 2> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 -3x-1 b) 3x2 - 10x - 8
Giải
a) 4x2 -3x-1
B1: Ta có : 4. ( - 1 ) = - 4
B2: - 4 = ( - 2). 2 = ( - 4) .1 = ( - 1).4
B3: Ta thấy: (- 4) + 1 = - 3 ( = b )
B4 + B5: Do đó ta viết : 4x2 -3x-1 = 4x2 - 4x + x - 1
= (4x2 - 4x) + (x - 1)
= 4x( x - 1) + ( x - 1 )
= ( x - 1 )( 4x + 1 )
* Cách làm:
Bước 1: Lấy tích a.c = t
Bước 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi. qi
Bước 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pk , qk sao cho pk + qk = b.
Bước 4: Viết ax2 + bx + c = ax2 + pkx + qkx + c
Bước 5: Nhóm số hạng và đưa nhân tử chung ra ngoài

b) 3x2 - 10x - 8
B1: 3. ( - 8 ) = - 24
B2: - 24 = (- 2 ). 12 = ( - 12 ).2 = (-4).6 = ( - 6 ).4 = ( -3 ).8 = ( -8 ).3 = ( -1).24 = ( -24).1
B3: Ta thấy - 12 + 2 = - 10 ( = b )
B4 + B5: 3x2 - 10x - 8
=3x2 - 12x + 2x - 8
= (3x2 - 12x) + (2x - 8)
= 3x( x - 4 ) +2(x - 4 )
= ( x - 4 )( 3x - 2 )

3. Một vài ứng dụng của phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 3> Giải các phương trình sau:
a) x2 + 11x + 28 = 0. b) 4x2 + 22x + 30 = 0
- Đây là những phương trình bậc 2, phương pháp giải những phương trình này thì các em chưa học. Tuy nhiên, nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể đưa các phương trình trên về dạng phương trình tích và giải được chúng theo phương pháp đã biết : A(x ). B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Giải
x2 + 11x + 28 = 0
x2 + ( 4 + 7 )x + 4.7 = 0
( x + 4 )( x + 7 ) = 0
x + 4 = 0 hoặc x + 7 = 0
x = - 4 hoặc x = -7.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =
b) 4x2 + 22x + 30 = 0
2x2 + 11x + 15 = 0
2x2 + 6x + 5x + 15 = 0
2x( x + 3) + 5( x + 3 ) = 0
( x + 3 )( 2x + 5) = 0
x + 3 = 0 hay 2x + 5 = 0
x = - 3 hay x =
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4> Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 18x3 + 24x2 - 10x tại x = -




Gặp những bài toán như thế này ta không thể thay trực tiếp giá trị của x vào biểu thức ban đầu vì làm như thế sẽ dẫn đến các phép tính toán rất phức tạp. Vì vậy bắt buộc ta phải phân tích các đa thức đã cho thành nhân tử rồi thay các giá trị của x vào biểu thức đã được phân tích đó.
Thật vậy, ta có: A = 18x3 + 24x2 - 10x
= 2x( 9x2 + 12x - 5)
= 2x( 9x2 + 15x - 3x - 5 )
= 2x( 3x + 5)( 3x - 1 )
IV. Một số cách giải khác đối với hai dạng toán trên:
* Trên đây là hai dạng toán thường gặp và phổ biến trong chương trình toán 8, nhờ phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử nêu trên mà các có thể giải quyết được những dạng toán này một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn. Tuy nhiên, khi gặp bài toán dạng này không phải lúc nào đều sử dụng phưong pháp trên. Tùy theo đặc thù từng bài toán mà có thể phân tích theo nhiều phương pháp khác nhau miễn là cách đó nhanh nhất và dễ hiểu nhất. Thật vậy, ta có thể phân tích các bài toán sau theo các cách khác, chẳng hạn:
Gi?i
Ta thay x =- vào biểu thức 2x( 3x + 5)( 3x - 1 ) ta được


A =
Ví dụ 5> Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x2 -7x+12 b. 4x2 -3x-1
x2 -7x+12
Cách 1: Ta có: x2 - 7x + 12
= x2 + ( - 4 -3 )x + ( -4)( - 3 ) = ( x - 4 )( x - 3 )
Cách 2: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x
Ta có x2 -7x+12 =x2 -4x-3x +12
=(x2 -4x)-(3x -12)
= x(x-4)-3(x-4)
=(x-4)(x-3)
Cách 3: Tách số hạng 12 thành 21- 9
x2 -7x+12 =x2 -7x +21-9
=(x2 -9) - (7x-21)
=(x-3) (x+3) -7(x-3)
=(x-3) (x -4)
b. 4x2 -3x-1
Cách 1: Tách 4x2 thành x2 +3x2
Ta có 4x2 -3x-1
=x2 +3x2 -3x-1
=(x2 -1) + (3x2 -3x)
=(x-1)(x+1) +3x(x-1)
=(x-1)( 4x +1)
Cách 2: Tách -3x thành - 4x +x
4x2 -3x-1 = 4x2 -4x +x -1
= 4x(x-1)+ (x -1)
= (x -1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3
4x2 -3x-1
=4x2 -3x -4 +3
=4(x-1)(x+1) -3 (x-1)
=(x-1)(4x+1)


* Củng cố:
Nhắc lại hai dạng toán đã được áp dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử đã trình bày trong tiết học
* Dạng 1: Phân tích đa thức dạng:
x2 + px + q thành nhân tử.
Cách làm: Tách p = m + n sao cho m.n = q thì khi đó ta có thể viết lại
x2 + px + q
= x2 + ( m + n)x + m.n
= ( x + m )( x + n ).

Dạng 2: Phân tích đa thức ax2 + bx + c với
a 0 và a 1 thành nhân tử.
Cách làm:
Bước 1: Lấy tích a.c = t
Bước 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi. qi
Bước 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi , qi một cặp pk , qk sao cho pk + qk = b.
Bước 4: Viết ax2 + bx + c
= ax2 + pkx + qkx + c
Bước 5: Nhóm số hạng và đưa nhân tử chung ra ngoài

Dặn dò: Về nhà xem lại các dạng toán đã giải và làm các bài tập sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 8x2 + 12x b) 5x2 + x - 18
c) 6x2 + 23x + 7 d) 7x2 + 15x + 2