Chương I. §6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Trường THCS Phan Bội Châu
Tổ Toán Lý
Các em học sinh lớp 8A tham gia minh họa
CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ ĐẾN DỰ CHUYÊN ĐỀ TỔ TOÁN LÝ
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử




1. Phân tích đa thức thành nhân tử(hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành 1 tích của những đa thức
2. Quy tắc đổi dấu : A = - ( - A )
3. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
( A + B )2 = A2 +2AB + B2
( A - B )2 = A2 -2AB + B2
( A - B ) ( A+B ) = A2 – B2
( A + B )3 = A3+3A2 B + 3AB2 + B3
( A - B )3 = A3- 3A2 B + 3AB2 - B3
( A + B )( A2 – AB + B2 ) = A3 + B3
( A - B )( A2+ AB + B2 ) = A3 - B3


Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Quy tắc đổi dấu ?
Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
GV trình bày : Nguyễn Thị Điểu
KIỂM TRA BÀI CŨ
I - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1 - Phương pháp đặt nhân tử chung
Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử
+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó
Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 12x2y – 18xy2 – 30y2
= 6y ( 2x2 – 3xy – 5y )
b) y (x – z ) + 7 ( z – x )
= y (x – z ) - 7 ( x – z )
= ( x – z ) ( y – 7 )
2 - Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 36 – 12x + x2
= 62 - 2 . 6x + x2
= ( 6 – x )2

b) ( x – 5 )2 – 16
= ( x – 5 )2 - 42
= ( x – 5 – 4 ) ( x – 5 + 4 )
= ( x – 9 ) ( x – 1 )
3 - Phương pháp nhóm hạng tử
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x + 15y +5
Cách 1 : Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư, ta có
3xy + x + 15y + 5 = ( 3xy + x ) + ( 15y + 5 )
= x ( 3y + 1 ) + 5( 3y + 1 )
= ( 3y + 1 ) ( x + 5 )
Cách 2 : Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có
3xy + x + 15y +5 = ( 3xy + 15y ) + ( x + 5 )
= 3y ( x + 5 ) + ( x + 5 )
= ( x + 5 ) ( 3y + 1 )
Nhận xét : Trong ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm các các hạng tử thích hợp
3 - Phương pháp nhóm hạng tử
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x + 15y +5
b) 9 – x2 + 2xy – y2
9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – ( x2 - 2xy + y2 ) = 32 – ( x – y )2
= ( 3 – x + y ) ( 3 + x – y )
Nhận xét : Trong cách giải trên ta đã nhóm ba hạng tử cuối của đa thức và đưa vào trong dấu ngoặc đằng trước có dấu ʺ - ʺ để phân tích đa thức bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Chú ý : Phương pháp nhóm hạng tử không đi đến kết quả ta phải sử dụng tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếp
4 - Phối hợp nhiều phương pháp
Ví dụ 4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x5 – x4 + x3 – x2
x5 – x4 + x3 – x2 = x2 ( x3 – x2 + x – 1 )
= x2[( x3 – x2 ) + ( x – 1 )]
= x2[ x2( x – 1 ) + ( x – 1 )]
= x2 (x – 1 ) ( x2 + 1 )
Chú ý : Khi phối hợp các phương pháp, ta thường làm theo trình tự :
_ Đặt nhân tử chung ( nếu có )
_ Dùng hằng đẳng thức ( nếu có )
_ Nhóm hạng tử
5 - Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x2 - 8x + 4
Giải : Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.
Cách 1 : ( Tách hạng tử thứ hai )
3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x – 2x + 4
= 3x (x – 2 ) – 2 ( x – 2 )
= ( x – 2 ) ( 3x – 2 )
Cách 2 : ( Tách hạng tử thứ nhất )
3x2 - 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= ( 2x - 2 )2 – x2 = ( 2x - 2 + x ) ( 2x - 2 - x )
= ( 3x – 2 ) ( x – 2 )
Nhận xét : Trong cách 1, hạng tử - 8x được tách thành hai hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 , hệ số của các hạng tử là 3, - 6 , - 2, 4 . Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp – 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho
ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c
Trong đó b1 + b2 = b
b1 . b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau :
Bước 1 : Tìm tích ac
Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Trong ví dụ trên, đa thức 3x2 – 8x +4 có a = 3 , b = - 8 , c = 4 . Tích ac = 3 . 4 = 12. Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu ( vì tích của chúng bằng 12 ), và cùng âm ( để tổng của chúng bằng – 8 ) : ( -1 )( 12 ), ( - 2 )( - 6 ), ( - 3 )( - 4 ). Chọn hai thừa số mà tổng bằng – 8 , đó là – 2 và – 6
Trong thực hành ta làm như sau :
Bước 1 : Tìm tích ac
Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
HOẠT ĐỘNG NHÓM
Ví dụ 6 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
4x2 - 4x – 3
Giải : Cách 1 : ( Tách hạng tử thứ hai )
4x2 - 4x – 3 = 4x2 + 2x - 6x – 3
= 2x ( 2x + 1 ) – 3 ( 2x + 1 ) = ( 2x + 1 ) ( 2x – 3 )
Chú ý rằng hệ số - 4 được tách thành 2 và – 6 có tích bằng – 12, bằng tích của 4 ( - 3 )
Cách 2 : ( Tách hạng tử thứ ba )
4x2 - 4x – 3 = 4x2 - 4x + 1 – 4
= ( 2x – 1 )2 – 22 = ( 2x + 1 ) ( 2x - 3 )
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích :
Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung ( cách 1 )
Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2 )
Ví dụ 7 Phân tích đa thức thành nhân tử
f(x) = x3 – x2 – 4
Giải : lần lượt kiểm tra với x = ±1, ±2, ±4, ta thấy f(2) = 23 – 22 – 4 = 0 . Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x – 2
Ta tách các hạng tử như sau
Cách 1.x3 – x2 – 4 = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – 4
= x2 ( x – 2 ) + x ( x – 2 ) + 2 ( x – 2 )
= ( x – 2 ) (x2 + x + 2 )
Cách 2 . x3 – x2 – 4 = x3 – 8 - x2 + 4
= ( x – 2 ) ( x2 + 2x + 4 ) – ( x + 2 ) ( x – 2 )
= ( x – 2 ) ( x2 + 2x + 4 – x – 2 )
= ( x – 2 ) ( x2 + x + 2 )
6 - Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
Ví dụ 8 Phân tích đa thức thành nhân tử
4x4 + 81
Giải : Thêm và bớt 36x2
4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= ( 2x2 + 9 )2 – ( 6x )2
= ( 2x2 + 9 + 6x ) ( 2x2 + 9 – 6x )
Ví dụ 9 Phân tích đa thức thành nhân tử
64x4 + y4
Giải : Thêm và bớt 16x2y2
64x4 + y4 = 64x4 + 16x2y2 + y4 – 16x2y2
= ( 8x2 + y2)2 – ( 4xy )2
= (8x2 + y2 + 4xy ) (8x2 + y2 – 4xy )
b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 10 Phân tích đa thức thành nhân tử
x5 + x – 1
Giải : Thêm và bớt x2
x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1
= (x5 + x2 ) – ( x2 – x +1 )
= x2 ( x3 + 1)– ( x2 – x +1 )
= x2 (x + 1) (x2 – x +1) – ( x2 – x +1 )
= ( x2 – x +1 ) [ x2( x + 1 ) – 1 ]
= ( x2 – x +1 ) ( x3 + x2 – 1 )
Trên đây là những phương pháp thường gặp. Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như:
Phương pháp đổi biến
Phương pháp hệ số bất định
Bài tập về nhà
Bài 35, 36 trang 7 SBT
Bài 57 trang 9 SBT
Chân thành cảm ơn quý thầy cô đến dự chuyên đề
7 - Phương pháp đổi biến
Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) + 128
Giải:
x ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) + 128
= ( x2 + 10x ) (x2 + 10x +24 ) + 128
Đặt x2 +10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
( y – 12 ) ( y + 12 ) + 128
= y2 – 16 = ( y + 4 ) ( y – 4 )
= (x2 + 10x + 16 ) (x2 + 10x + 8 )
= ( x + 2 ) ( x + 8 ) (x2 + 10x + 8 )
Nhận xét : Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với x thành đa thức bậc hai đối với y
8. Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải : Các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng ( x2 + ax + b ) ( x2 + cx + d ). Phép nhân này cho kết quả x4 + ( a + c )x3 + ( ac + b + d )x2 + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện :
a + c = - 6
ac +b + d = 12
ad + bc = - 14
bd = 3
xét bd = 3 với b , d Z, b {1, 3 }. Với b = 3 thì d = 1 , hệ điều kiện trên trở thành
a + c = - 6
ac = 8
a + 3c = - 14
Suy ra 2c = - 14 – ( - 6 ) = - 8. Do đó c = - 4, a = - 2
Vậy đa thức đã cho phân tích thành ( x2 – 2x + 3 ) ( x2 – 4x + 1 )
Chú ý : Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau;
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= x4 - 4x3 + x2 – 2x3 + 8x2 – 2x + 3x2 – 12x + 3
= x2 ( x2 – 4x + 1 ) – 2x ( x2 – 4x + 1 ) + 3 ( x2 – 4x + 1 )
= ( x2 – 4x + 1 ) ( x2 – 2x + 3 )