Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Nêu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ?
Dạng 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính
Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 19 - tr 12 sgk
Bài 25 - tr 13 sgk
Bài 26 - tr 14 sgk
Bài 33 - tr 16 sgk
Dạng 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính
Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 1: Tính
a) ( x + 2y)2
b) ( 3x - 2y)2
c) ( 2x - )2
f) (x - 2)(x2 + 2x + 4)
d) ( - y)
( + y)
e) ( x - )3
Dạng1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính
Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 2: Viết các đa thức sau thành tích
a) x3 + 8y3
b) a6 - b3
c) 8y3 - 125
d) 8z3 - 27
Dạng2. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải.
Bài 17 - tr 11 sgk
Bài 20 - tr 12 sgk
Bài 23 - tr 12 sgk
Bài 31 - tr 16 sgk
Bài 38 - tr 17 sgk
Dạng2. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải.
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức:
a) ( x + y)2 - y2 = x ( x + 2y )

b) ( x2 + y2)2 - (2xy)2 = (x + y )2 ( x –y )2
c) ( x + y)3 = x(x - 3y )2 +y( y –3x )2
Dạng2. Chứng minh đẳng thức
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:
a) ( a + b)3 + (a – b)3 = 2a ( a2 + 3b2 )

b) ( a + b)3 - (a – b)3 = 2b ( b2 + 3a2 )
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải.
Dạng 3. Tính nhanh
Phương pháp giải: Đưa số cần tính về dạng (a+b)2 hoặc (a –b)2 , trong đó a là số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100.
Bài 22 - tr 12 sgk
Bài 35 - tr 17 sgk
Dạng 3. Tính nhanh
Phương pháp giải: Đưa số cần tính về dạng (a+b)2 hoặc (a –b)2 , trong đó a là số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100.
Bài 1: Tính nhanh
a) 10012
b) 29,9. 30,1
c) (31,8)2 – 2.31,8.21,8 + (21,8)2
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải: * Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn
*Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
Bài 30 - tr 16 sgk
Bài 34 - tr 17 sgk
Bài 24 - tr 12 sgk
Bài 28 - tr 14 sgk
Bài 36 - tr 17 sgk
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải: * Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn
*Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn
Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a) ( x - 10)2 - x(x+ 80) với x= 0,98
b) ( 2x + 9)2 - x(4x+ 31) với x = -16,2
c) 4x2 - 28x + 49 với x = 4
d) x3 - 9x2 + 27x -27 với x =5
Dạng4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a) ( x2 – 2x +2)(x2 – 2) (x2 + 2x+2)(x2 +2)
b) ( x + 1)3 + (x -1)3 + x3 – 3x( x+1 )(x-1)
c) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + ( 2a -b)2
d) 1002 - 992 + 982 -972 + … + 22 -12
e) 3(22 + 1)(24 +1)…( 264 +1) +1
f) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + 2( a +b)2
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp
Phương pháp giải: * Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có trong ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
* Thay vào ô trống hạng tử thích hợp.
Bài 32 - tr 16 sgk
Bài 18 - tr 11 sgk
Bài 29 - tr 14 sgk
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp
Bài 1: Điền vào ô trống để biểu thức sau trở thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 20x +
c) y2 - + 49
b) 16x2 + 24x +
d) - 42xy + 49y2
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp
Bài 2: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp
Bài 3: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:
a) (2a +3b)( - + ) =
8a3 + 27b3
b) (5x - )( +20xy+ )=
125x3 – 64y3
Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương, lập phương của một tổng (một hiệu)
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 16 - tr 11 sgk
Bài 21 - tr 12 sgk
Bài 27 - tr 14 sgk
Bài 37 - tr 17 sgk
Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương, lập phương của một tổng (một hiệu)
Bài 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương:
a) x2 + 10x + 26 + y2 +2y
b) x2 - 2xy + 2y2 +2y +1
c) z2 - 6z + 13 + t2 +4t
d) 4x2 -4xz + 1 + 2z2 -2z
Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến.
a) (2x +3)(4x2 - 6x +9) - 2(4x3 -1)
b) ( x +3)3 -(x + 9) (x2 +27)
Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y:
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến.
a) (x +y)(x2 - xy +y2) + (x -y)(x2 + xy + y2) – 2x3
b) ( xy -5)(xy+2) +3(xy-2)(xy +2) -(3xy - )2 + 5x2y2
Dạng 8. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái (hoặc vế phải) về dạng aX = b, từ đó tìm X.
Bài 1: Tìm x, biết:
a) ( x + 2 )2 - 9 = 0
b) ( x + 2 )2 - x2 + 4 = 0
c) ( x - 3 )2 - 4 = 0
d) x2 - 2x = 24
e) ( 2x - 1)2 + (x +3)2 – 5( x+7 )(x-7) = 0
Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức

Để đưa về dạng T = a ± [ F(x)]2 với a là hằng số.
Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
c) C = x2 - 2x + y2 – 4y + 7
a) A = 4x2 +4x +11
b) B = ( x -1 )( x +2 )( x +3 )( x +6 )
Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
c) C = x2 - 4xy + 5y2 – 22y +10x +28
a) A = x2 - 20x +101
b) B = 4a2 +4a +2
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 4x - x2 +3
b) B = x - x2
Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức về dạng A2 + B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0.
Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương
Bài 1:
a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, chứng minh a=b =c
b) Tìm a, b, c thỏa mãn đẳng thức: a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + 6 = 0
Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương
Bài 2: Chứng minh rằng nếu:
( x - y) 2 + ( y - z )2 + ( z – x )2
= (y+z -2x )2 + (z +x -2y)2 + (x +y -2z)2
thì: x = y = z
Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số
Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức

Để đưa về dạng [ F(x)]2 + k với k >0
hoặc - [ F(x)]2 + n với n<0
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) A = x2 +x +1 >0 với mọi x
b) B = -4x2 -4x -2 <0 với mọi x
c) C = x2 - 6z+ 4y2 +8y + z2 - 2x + 15 >0 với mọi x,y,z
Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số
Bài 2: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x,y:
a) A = x2 +xy + y2 +1 > 0
c) C = 5x2 + 10y2 -6xy - 4x – 2y +3 >0
b) B = x2 -4xy + 5y2 + +2x -10y +14 >0
Dạng 12. Áp dụng vào số học
Phương pháp giải:
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a =b.k
• Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia
Bài 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5
Dạng 12. Áp dụng vào số học
Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập phương của chúng là:
Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên 3n(n2-1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9.
Dạng 12. Áp dụng vào số học
Bài 3: Biết số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n3 chia cho 7 dư bao nhiêu?
Bài 4: Cho a , b là các số nguyên. Chứng minh
a3 + b3 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a+b chia hết cho 3.
Bài 5: a+b =1. Tính giá trị M = 2( a3 + b3) – 3( a2 + b2)
Dạng 13. Một số hằng đẳng thức tổng quát
Dạng 13.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết ta có:
• an – bn chia hết cho a – b với a ≠ b và n nguyên dương
• a2n +1 + b2n+1 chia hết cho a+b
• a2n – b2n chia hết cho a + b.
Bài 1: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho 100.
Dạng 13.
Bài 1: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho 100.
Giải:
Có 1110 – 1 = 1110 – 110= (11 -1)(119+118+…+ 11+1)
= 10(119+118+…+ 11+1)
Vì 119+118+…+ 11+1 có chữ số tận cùng bằng 0
nên 119+118+…+ 11+1 chia hết cho 10.
Vậy 1110 –1 chia hết cho 100.
Dạng 13.
Bài 2: Với n là số nguyên dương chẵn, chứng minh 20n +16n –3n - 1 chia hết cho 323.
Giải:
Ta có: 323 = 17.19. Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có 20n – 1 chia hết cho 19, và vì n chẵn nên 16n - 3n chia hết cho 16 +3 =19, do đó 20n +16n –3n - 1 = (20n – 1) + (16n - 3n) chia hết cho 19.
Mặt khác, vì 20n -3 chia hết cho 17 và 16n -1 chia hết cho 16 +1 = 17 nên 20n +16n –3n - 1 = (20n -3 ) + (16n -1 ) chia hết cho 17.
Vậy 20n +16n –3n - 1 chia hết cho 323
Bài 3: Chứng minh không có đa thức F(x) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9.
Giải:
Vế trái chia hết cho 15 -7 = 8, vế phải là 4 không chia hết cho 8
Vậy không có đa thức F(x) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9.
Dạng 13.
Bài 4: Chứng minh
a) 11n+2 +122n+1 chia hết cho 133.
b) 5n+2 + 26.5n +82n+1 chia hết cho 59.
c) 7.52n + 12.6n chia hết cho 19.
Bài 4: Chứng minh
a) 11n+2 +122n+1 chia hết cho 133.
Giải:
b) 5n+2 + 26.5n +82n+1 chia hết cho 59.
Giải:
c) 7.52n + 12.6n chia hết cho 19.
Giải:
Bài 6: Chứng minh với số nguyên n>1 có:
nn – n2 + n -1 chia hết cho ( n-1 )2.
Dạng 13.
Bài 5: Cho đa thức với hệ số nguyên F(x) có F(0) và F(1) là hai số lẻ. Chứng minh rằng F(x) không có nghiệm nguyên.