Chứng minh các điểm thẳng hàng

Chuyên đề 1
Chứng minh các điểm thẳng hàng
1. Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ quả
( Tiên đề Ơcơlit : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với a.
( Hệ quả : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với a.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE. Gọi M và N theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.
Lời giải
Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên là hình bình hành. Suy ra AM // BC. (1)
Chứng minh tương tự ta có AN // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit).
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằng ba điểm O, K, I thẳng hàng.
Lời giải
ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD.
Ta có CB ( AI (vì ABCD là hình chữ nhật) ( CB là đường cao của (CAI. (1)
(FBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF =
BD ( OF =
AC.
(FAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO =
AC nên (FAC vuông tại F. Suy ra AF ( CI hay AF là đường cao của (CAI. (2)
K là giao điểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của (CAI. Do đó IK ( AC. (3)
Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành ( BE // AC ( BF //AC ( ABFC là hình thang.
Lại có (FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên
CF = CD ( CF = AB (vì AB = CD). Suy ra
BAC =
FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ( AF = BC.
Hình thang ABFC có hai đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra
( (IAC cân tại I ( IO là trung tuyến đồng thời là đường cao. Hay IO ( AC. (4)
Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm).
2. Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng
( Tính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và CD. Chứng minh rằng nếu
thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang.
Lời giải
Giả sử
. (1)
Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MI // BC và MI =
BC.
Chứng minh tương tự ta có IN // AD và IN =
AD.
Mà
hay MN = MI + IN. Từ đó suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I, N thẳng hàng.
Lúc đó