Các phương pháp tìm ngiệm nguyên

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (từ đơn giản đến phức tạp): 1.    Xét số dư của từng vế 2.    Đưa về dạng tổng 3.    Dùng bất đẳng thức  4.    Dùng tính chia hết, tính đồng dư  5.    Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn 6.    Xét chữ số tận cùng 7.    Dùng tính chất của số chính phương 8.    Tìm  nghiệm riêng 9.    Hạ bậc PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1:  Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) −=1998 b) +=1999 Giải: a) Dễ chứng minh ,chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên −chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) ,chia cho 4 có số dư 0, 1 nên +chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2:  Tìm các nghiệm nguyên của phương trình +2=+y Giải: Biến đổi phương trình: +2=y(y+1) Ta thấy  vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: y=+1, y+1=+2 với k nguyên Khi đó: +2=(+1)(+2)             ⇔=(k+1)             ⇔x=k(k+1) Thử lại, x=k(k+1y=+1 thỏa mãn phương trình đã cho. Đáp số {x=k(k+1)  y=+1   với k là số nguyên tùy ý PHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Phương pháp:  Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. Ví dụ 3:  Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:                       +−x−y=8              (1) Giải:   (1+−−=32       ++1)+(−+1)=34   −1|2+|−1|2=32+52  Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32,52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:                     −1|=3  |−1|=5    hoặc  −1|=5  |−1|=3   Giải các hệ trên ⇒phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), 1 ; −2), 2 ; −1) PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp: Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … 1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ 4:  Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z. Ta có:                        x+y+z=x.y.z     (1) Chú ý rằng các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1⩽x⩽y⩽z Do đó: xyz=x+y+z⩽ Chia hai vế của bất đảng thức xyz⩽cho số dương z ta được: xy⩽3 Do đó xy1;2;3} Với xy=1, ta có x=1,y=1. Thay vào (1) được 2+z=z (loại) Với xy=2, ta có x=1,y=2.  Thay vào (1) được z=3 Với xy=3, ta có x=1,y=3.  Thay vào (1) được z=2 loại vì y⩽zx Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. Cách 2: Chia hai vế của (1)