Các đề luyện thi

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 4
TRƯỜNG THCS NGA THẮNG NĂM HỌC 2017-2018
MÔN TOÁN LỚP 8
Ngày 23/3/2018
Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề

Câu 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

b) Cho đa thức:

Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì A - 3xyz chia hết cho 6
Câu 2: (4 điểm):
1. Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để

2. Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng:

b) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Chứng minh rằng:


Câu 4: (6 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP
BD và CP = 2,4 cm,
. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Câu 5: (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:

Với



-----HẾT-----
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 8 LẦN 4

Câu 1: 4đ
2đ.
x4 + 2018x2 + 2017x + 2018 = x4 + x2 + 2017x2 + 2017x + 2017 +1
= x4 + x2 + 1+ 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + 1)2 - x2 + 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + x + 1)( (x2 - x + 1) + 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + x + 1)( x2 – x + 2018) 0,5

b) 2đ. Ta có:

= (x + y + z)(xy + yz + zx 0,75
Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z
6 nên A
6
Mặt khác: x + y + z
6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra: xyz
2 0,5
=> 3xyz
6 0,25

=> A - 3xyz chia hết cho 6 0,5

Câu 2: 4đ
2đ.
a) 1đ. Điều kiện:
0,25


0,5
0,25
b) 1 đ. Vì
nên P = 1 hoặc P = -1
+ Nếu: P = 1 thì

hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện 0,5
+ Nếu: P = -1 thì

= - x - 1
x2 + x + 2 = 0
Mà x2 + x + 2 = (x +
)2 +
> 0
với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để
0,5

2đ. Ta có P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và P(x)
(x-1),
P(x)
(x-3), P(x)
(x-5)
Nên P(x) có dạng P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840

Câu 3. 4đ
a) . Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2
2xy. Dấu bằng khi x=y 0,5

Ta có:
;
;
0,75
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:



0,75