Các bài toán hay về tổng ba góc của tam giác

TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC (NÂNG CAO)
A. Lý thuyết:
*Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800.
* Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
* Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
Từ đó suy ra: Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC , điểm I nằm trong tam giác. So sánh
và
.
BÀI GIẢI:
Cách 1:
Ta có:
= 1800(1)(định lí tổng ba góc của một tam giác)
Điểm I nằm trong tam giác ABC nên tia BI nằm giữa hai tia BA và BC
và tia CI nằm giữa hai tia CB và CA nên:

và
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

Cách 2: Gọi K là giao điểm của của AI và BC.
Ta có:
(góc ngoài tam giác ABI) (1)
và
(góc ngoài tam giác ACI) (2)
Suy ra:


Điểm I nằm trong tam giác ABC nên tia AI nằm giữa hai tia
AB và AC và tia IK nằm giữa hai tia IB và IC nên
(đpcm)
Cách 3: Gọi E là giao điểm của tia BI và AC.
Ta có:
(góc ngoài tam giác IEC) (1)
và
(góc ngoài tam giác ABE) (2)
Từ (1 ) và (2 ) suy ra :
(đpcm)
Nhận xét: Cách 2 suy từ bài 3 trang 108 SGK, cách 3 dùng tính chất góc ngoài tam giác để
việc chứng minh nhẹ nhàng hơn.
Bài 2: Cho tam giác ABC có số đo ba góc A; B; C lần lượt tỉ lệ với các số 1; 2; 3.
Tính số đo các góc của tam giác ? Tam giác ABC là tam giác gì ? Tại sao?
Bài giải:
Gọi số đo các góc A; B ; C lần lượt là x; y; z. Theo đề ta có:

và x + y + z = 1800.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

=
. Vậy x = 30; y = 60 và z = 90
Vậy:
;
. Tam giác ABC vuông ở C.
Bài 3: Cho tam giác ABC , D là một điểm trên cạnh BC và
có số đo bằng số đo một
góc của tam giác ADC. Chứng minh rằng AD
BC .
BÀI GIẢI:
Ta có :
là góc ngoài của tam giác ADC nên :

và
; kết hợp với giả thiết
bằng một góc của
tam giác ADC nên

=
. Do
+
= 1800 (kề bù)
Suy ra:
=
= 900 . Vậy AD
BC (đpcm)


Bài 4: Ở hình bên: Ax // By ;
;
. Tính

Bài giải:
Gọi E là giao điểm của tia AC và tia By.
Ta có:
(hai góc so le trong của Ax // By)

là góc ngoài tam giác BCE nên :

Nhận xét: Bài toán này với kiến thức chương I ta cũng tính được góc ACB
Bài tập thực hành:
Bài 5: Cho tam giác ABC có
= 800 ; Tính các góc B và C trong các trường hợp sau:
a)
.
b)

Đáp số: a)
b)

Bài 6: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và BE. Chứng minh rằng:
Nếu
thì

Nếu
thì

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc B > góc C. Đường phân giác của góc ngoài ở đỉnh A cắt
đường thẳng BC ở E.
Chứng minh rằng:

Tính số đo của góc B và góc C biết rằng
và
.
Bài 8. Cho tam giác ABC có
.
Chứng minh

Tìm điều kiện cho số đo góc C để tam giác ABC là tam giác nhọn ?
Gợi ý: a)
và



Lưu ý: có thể giả sử
từ đó suy ra điều vô lí .
b)
nhọn

;
;
kết hợp với định lí tổng ba góc của tam giác
và
với câu a ta được
là điều kiện cần tìm
TỰ KIỂM TRA NĂNG LỰC
Thời gian: 30 phút
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có
.
Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC.
Kẻ AH
BC ( H
BC)