CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ LỚP 5

BÀI TẬP VECTƠ

Dạng 1: Hình bình hành


Cho hình bình hành ABCD, cạnh a. Tính:


a)
b)
c)
d)
e)
f)

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. M là điểm tùy ý. Chứng minh:
a)
.
b) Nếu
thì ABCD là hình chữ nhật.
c)

d)

e)

f)

Cho hình bình hành ABCD, đặt
. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ
theo
.

Dạng 2: Tam giác


Cho (ABC có A(, B(, C( lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh:
.
Tìm các vectơ bằng
.
Cho (ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh:
.
Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
Chứng minh:
.
Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
.
Cho (ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: a)
b)
c)
.


Cho (ABC đều cạnh a. Tính
.
Cho (ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
.
Cho hai tam giác ABC và A(B(C( lần lượt có các trọng tâm là G và G(.
Chứng minh
.
Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
.
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
. K là trung điểm của MN. Chứng minh:
a)
b)
.
Cho (ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
c)
c)
.
Cho (ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
.
a) Tính
theo
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Cho (ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh:

Đặt
. Tính
theo
.
Cho (ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
Tính
.
Gọi G là trọng tâm (ABC. Tính
.
Cho (ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
Chứng minh:
.
Đặt
. Tính
theo
.

Dạng 3: Tứ giác, ngũ giác, lục giác


Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh:
.
Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh:

Cho lục giác đều ABCDÈ nội tiếp đường tròn tâm O, và M là một điểm bất kỳ. Chứng minh:




Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
,
,
.
Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
.
Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
theo các vectơ
.
Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
.

Dạng 4: Các điểm bất kỳ


Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm các vectơ sau đây:








Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:



.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
Nếu
thì


.
Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Cho 4 điểm