Các bài Luyện tập

Hãy xác định tính đúng, sai của mệnh đề:
và với
Trả lời:
n = 1: P(1): “ 31 < 1+100”
Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
?
n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) và Q(2): “ 22> 2” (Đ)
và Q(1): “ 21> 1”
(Đ)
(Đ)
n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) và Q(3): “ 23> 3” (Đ)
n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) và Q(4): “ 24> 4” (Đ)
n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) và Q(5): “ 25> 5” (Đ)
?
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
CM: P(n) đúng với
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

II. VÍ DỤ:
Vd1:CMR với thì
1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n2 (1)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
n = 1: 1 = 12
n = 2: 1+3 = 22
n = 3: 1+3 +5 = 32
………………………………….
n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2
n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1)
+[2(k+1)-1]= (k+1)2
Hoạt động nhóm
CMR: với mọi thì

Nhóm 1,2: Bước 1

Nhóm 3, 4: Bước 2 ( đến gt qui nạp)

Nhóm 5, 6: Bước 2 (nêu ta phải CM?)
(1)
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

II. VÍ DỤ:
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Hoạt động nhóm
CMR: với mọi thì
Giải: Đặt

Bước 1: Với n = 1 thì: 1=1 nên (1) Đ

Bước 2: G/s (1) đúng với
(1)

.Nghĩa là:
(gt qui nạp)
Ta phải CM: (1) đúng với
Tức là:
Thật vậy:
Vậy: (1) đúng với
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

II. VÍ DỤ:
Vd1: CMR với thì
1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n2 (1)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Vd2: CMR với thì chia hết cho 3

Giải: Đặt

Bước 1: Với n = 1 ta có

Bước 2: G/s với n = k ta có:
(gt qui nạp)
Ta phải CM
Thậy vậy:
Vậy: chia hết cho 3 với
CM: P(n) đúng với
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

n = p
n = p
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

n = p
Hoạt động nhóm
Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp
Giải:
a)
b) Kết quả: 3n > 8n với mọi
3
8
<
9
16
<
27
>
24
81
>
32
243
>
40
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với

n = p
Hoạt động nhóm
Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp
Giải:
b) Kết quả: 3n > 8n với mọi
Bước 1: Với n = 3 thì 33 > 8.3
nên P(1) đúng
Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi
Bước 2: G/s mđề đúng với .

Ta phải CM mđề đúng với n = k+1.
Nghĩa là: 3k > 8k (gt qui nạp)
Tức là 3k+1 > 8(k+1)
Vậy: 3n > 8n với mọi
Thậy vậy: