Các bài Luyện tập

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Đại Số
12/ 2004
(x + y)(x - y)= ?
MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ KHI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)
(x - y)3 = x3 - y3 - 3xy (x - y)
(x2 - y2 )2 = (x - y)2 (x + y)2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
(x - y + z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy - 2yz + 2xz
Nếu A không âm thì min A2 = (minA)2
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
2a2 b2 + 2b2 c2 + 2a2 c2 - a4 - b4 - c4
(x2 - x + 1)(x2 - x + 2) - 12
4x2 y2 - ( x2 + y2 - z2 )2
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + 1
2a2 b2 + 2b2 c2 + 2a2 c2 - a4 - b4 - c4
= 2c2 (a2 + b2) - (a4 + b4 - 2a2 b2) - c4
= c2 [(a + b)2 + (a - b)2] - (a2 - b2)2 - c4
= c2 (a + b)2 + c2 (a - b)2 - c4 - (a + b)2 (a - b)2
= c2 [(a + b)2 - c2 ] + (a - b)2 [c2 - (a + b)2 ]
= [(a + b)2 - c2 ][c2 - (a - b)2 ]
= (a + b - c)(a + b + c)(c - a + b)(c + a - b)
(x2 - x + 1)(x2 - x + 2) - 12 (1)
Đặt t = x2 - x + 1, khi đó (1) trở thành:
t(t + 1) - 12
= t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12
= t(t + 4) - 3(t + 4) = (t + 4)(t - 3)
= (x2 - x + 5)(x2 - x - 2)
= (x2 - x + 5)[(x2 - 2x) + (x - 2)]
= (x2 - x + 5)[x(x - 2) + (x - 2)]
= (x2 - x + 5)(x - 2)(x + 1)
4x2 y2 - ( x2 + y2 - z2 )2
= (2xy + x2 + y2 - z2 )(2xy - x2 - y2 + z2 )
= [(x + y)2 - z2 ][z2 - (x - y)2 ]
= (x + y - z)(x + y + z)(z + x - y)(z - x + y)
(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + 1 (2)
= (x - 2)(x - 5)(x - 3)(x - 4) + 1
= (x2 - 7x + 10)(x2 - 7x + 12) + 1
Đặt t = x2 - 7x + 10, khi đó (2) trở thành:
t(t + 2) + 1
= t2 +2t + 1
= (t + 1)2
= (x2 - 7x + 11)2
(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + 1 (2)
= (x - 2)(x - 5)(x - 3)(x - 4) + 1
= (x2 - 7x + 10)(x2 - 7x + 12) + 1
= (x2 - 7x + 10)[(x2 - 7x + 10) + 2 ] + 1
= (x2 - 7x + 10)2 + 2(x2 - 7x + 10) + 1
= (x2 - 7x + 11)2
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
= (a - c)[(a - b)2 - (a - b)(b - c) + (b - c)2 ] - (a - c)3
= (a - c)[ (a - c)2 - 3 (a - b)(b - c)] - (a - c)3
= (a - c)[(a - c)2 - 3 (a - b)(b - c) - (a - c)2 ]
= 3 (c - a)(a - b)(b - c)
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

GTLN VÀ GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC.
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VỀ SỐ, VỀ CẠNH.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG - BIỂU THỨC KHÔNG ÂM, KHÔNG DƯƠNG - HỢP SỐ.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau
A = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Vậy Min A = 9/16 khi x =-1/2
A = x4 + 2x3 + x2 +2x2 +2x + 1
= (x2 + x)2 + 2.(x2 + x) + 1
= (x2 + x + 1)2 ?0
Vì x2 + x + 1 = (x + 1/2 )2 + 3/4 ? 3/4 với mọi x
Min (x2 + x + 1) = 3/4 khi x = -1/2
Vì A?0
Nên min A = min (x2 + x + 1)2 = (3/4)2 = 9/16 khi x = -1/2
Ví dụ 2: Cho biết 7x2 + 8xy + 7y2 = 10.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x2 + y2
Vậy min (x2 + y2) = 10/11 khi x = y thỏa (*)
7x2 + 8xy + 7y2 = 10 (*)
11x2 + 11y2 - 4x2 + 8xy - 4y2 = 10
11(x2 + y2) = 10 + 4(x2 - 2xy + y2)
11(x2 + y2) = 10 + 4(x - y)2 ? 10 với mọi x, y.
? x2 + y2 ?10/11
Ví dụ 2: Cho biết 7x2 + 8xy + 7y2 = 10.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x2 + y2
Vậy, max (x2 + y2) = 10/3 khi x = -y thỏa (**)
7x2 + 8xy + 7y2 = 10 (**)
3x2 + 3y2 + 4x2 + 8xy + 4y2 = 10
3(x2 + y2) = 10 - 4(x2 - 2xy - y2)
3(x2 + y2) = 10 - 4(x + y)2 ? 10 với mọi x, y.
? x2 + y2 ? 10/3
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
B =

Vậy MinB = 1/2 khi x = ? 1
Ta có: (x2 - 1)2 ? 0
? x4 - 2x2 + 1 ? 0
? x4 + 1 ?2x2
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
B =
Vì 2x2 ? 0 và (x2 + 1)2 ?0
Vậy maxB = 1 khi x = 0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
B = 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y - 2x + 2 ?0 ?x, y
B = (x2 - 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + (4x2 + 8xy + 4y2 )
= (x - 1)2 + (y + 1)2 + (2x + 2y)2
Vì (x - 1)2 ?0 ?x, y
(y + 1)2 ?0 ?x, y
(2x + 2y)2 ?0 ?x, y
Vậy B ?0 ?x, y
Bài tập tương tự: Tìm x, y, z thỏa B = 0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
là một số chính phương
A = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 4y2 + 2y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2y2. (x2 + 5xy + 4y2) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2)2
Vậy A là một số chính phương
Ví dụ 3: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
D = n2 + (n + 1)2 + n2 .(n + 1)2
= n2 + n2 + 2n + 1 + n2.(n2 + 2n + 1)
= n2 + n2 + 2n + 1 + n4 + 2n3 + n2
= n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1
= (n2 + n + 1)2
Ta có n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1, Vì n(n + 1) là số chẵn nên n2 + n + 1 là số lẻ
Vậy D là một số chính phương lẻ
Gọi hai số chính phương liên tiếp là: n2 và (n + 1)2.
9999 + 1 = 104
999999 + 1 = 106
99.9 + 1 (Có n chữ số 9) =
Nếu đặt 11.1 = a (Có n chữ số 1) thì 9a + 1 =
11115555 = 1111.104 + 5555
= 1111.104 + 5.1111
10n
10n
Tổng quát: 11.155.5 (Có n chữ số 1 và n chữ số 5)
=
a.104 + 5a
11.1 (Có 2n chữ số 1)
=
a.10n + 1.a =
a.10n + a
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
A = a.10n + 5a + 1
a) A = 11.155.5 + 1 (Có n chữ số 1 và n chữ số 5)
Đặt 11.1 = a (Có n chữ số 1) , khi đó 9a + 1 = 10n
A = a.(9a + 1) + 5a + 1
A = 9a2 + 6a + 1
A = (3a + 1)2
A = (33.34)2 (Có n - 1 chữ số 3)
Vậy A là một số chính phương
Xét trường hợp đặt biệt sau: A = 11115555 + 1
= 11110000 + 5555 + 1 = 1111.104 + 5.1111 + 1
B = a.10n + a + 4a + 1
B = a.(9a + 1) + 5a + 1
B = 9a2 + 6a + 1
B = (3a + 1)2
B = (33.34)2 (Có n - 1 chữ số 3)
Vậy B là một số chính phương
b) B = 11.1 + 44.4 + 1 (Có 2n chữ số 1 và n chữ số 4)
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
Đặt 11.1 = a (Có n chữ số 1) , khi đó 9a + 1 = 10n
= 1111 + 44 + 1 = 11.102 + 11 + 4.11 + 1
Xét trường hợp đặt biệt sau: B = 111144 + 1
C = a.10999 + a + 10a + 1 + 6a + 8
C = a.(9a + 1) + 17a + 9
C = 9a2 + 18a + 9
C = (3a + 3)2
C = (33.36)2 (Có 998 chữ số 3)
Vậy C là một số chính phương
c) C = 11.1 + 11.1 + 66.6 + 8
1998 chữ số 1 1000 chữ số 1 999 chữ số 6
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
Đặt 11.1 = a (Có 999 chữ số 1) Khi đó 9a + 1 = 10999
D = a.10n.102 + 25
D = 100a.(a + 1) + 25
D = 100a2 + 100a + 25
D = (10a + 5)2
D = (99.95)2 (Có n chữ số 9)
Vậy D là một số chính phương
d) D = 99.900.025 (n chữ số 9 và n chữ số 0)
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
Đặt 99.9 = a (Có n chữ số 9) Khi đó a + 1 = 10n
Xét trường hợp đặt biệt sau: D = 99900025
= 99900000 + 25 = 999.103.102 + 25
44.488.8 + 1
E = 4a.10n + 8a + 1
E = 4a(9a + 1) + 8a + 1
E = 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2
E = (66.61)2 (Có n - 1 chữ số 6)
Vậy E là một số chính phương
e) E = 44.488.89 (Có n chữ số 4 và n - 1 chữ số 8)
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
Đặt 11.1 = a (Có n chữ số 1) Khi đó 9a + 1 = 10n
E có thể viết lại:
E = 44.488.88 + 1 (Có n chữ số 4 và n chữ số 8)
44.488.8 + 1
E = 4a.10n + 8a + 1
E = 4a(9a + 1) + 8a + 1
E = 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2
E = (66.61)2 (Có n - 1 chữ số 6)
Vậy E là một số chính phương
f) F = 11.122.25 (Có n chữ số 1 và n + 1 chữ số 2)
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương
Đặt 11.1 = a (Có n chữ số 1) Khi đó 9a + 1 = 10n
F có thể viết lại:
F = 11.122.2 + 25 (Có n chữ số 4 và n chữ số 8)
Ví dụ 5: Cho a, b, c, d ?N* thỏa a2 - b2 = c2 - d2. C/m: S = a + b + c + d là hợp số
Ta có: a2 - b2 = c2 - d2 ? a2 + d2 = c2 + b2 (1)
Xét A = (a2 + b2 + c2 + d2) - (a + b + c + d) (2)
= (a2 - a) + (b2 - b) + (c2 - c) + (d2 - d)
= a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) + d(d - 1)
Vì a(a - 1)?2 ; b(b - 1) ?2 ; c(c - 1) ?2 ; d(d - 1) ?2
A ?2 , thay (1) vào (2) ta được:
A = 2(a2 + d2 ) - (a + b + c + d)
Do A ?2 và 2(a2 + d2 ) ?2 nên (a + b + c + d)?2
Mặt khác a + b + c + d >2
Vậy S = a + b + c + d là hợp số
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 ?1 ?x
(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 ?1
? (x - 1) (x - 6)(x - 3)(x - 4) + 9 ?0
? (x2 - 7x + 6)[(x2 - 7x + 6) + 6) + 9 ?0
? (x2 - 7x + 6)2 + 6(x2 - 7x + 6) + 9 ?0
? [(x2 - 7x + 6) + 3]2 ?0
(x2 - 7x + 9)2 ?0 (luôn đúng với mọi x)
Vậy (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 ?1 ?x
Ví dụ 1: Cho biết a, b, c đôi một rời nhau
a) Tính
b) Cmr:
Ví dụ 2: Cho a + b + c + d = 0
Cmr: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd)
Vì a + b = - (c + d) ? (a + b)3 = - (c + d)3
VT = (a + b)3 - 3ab (a + b) + (c + d)3 - 3cd (c + d)
= - (c + d)3 + 3ab (c + d) + (c + d)3 - 3cd (c + d)
= 3(c + d)(ab - cd) = VP
Vậy, a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd)
Ví dụ: Cho biết a, b, c đôi một rời nhau
Tính
Ví dụ 1: Tìm x, y, z thỏa
9x2 + y2 + 2z2 - 18x + 4z - 6y + 20 = 0
a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= (a + b + c)3 - 3c(a + b).(a + b + c) -3ab(a + b)- 3abc
= (a + b + c)3 - 3c(a + b).(a + b + c) -3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b + c)2 - 3c(a + b) - 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a3 + b3 + c3 - 3abc
Một số bài tập phát triển từ nhận xét trên:
Cmr: Nếu a3 + b3 + b3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
Nếu abc ? 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc.
Tính A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
Cmr: Nếu a3 + b3 + b3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc ? a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
? (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
Đặt x = a - b ; y = b - c ; z = c - a ? x + y + z = 0
x3 + y3 + z3 - 3xyz
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
= 0 (Vì x + y + z = 0)
? x3 + y3 + z3 = 3xyz
Khi đó: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
= 3(a - b)(b - c)(c - a)
Nếu abc ? 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc.
Tính A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc
? a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
? (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0
Trường hợp 1: a = b = c. Khi đó.
A =(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8
Trường hợp 1: a + b + c = 0. Khi đó.
A =[1 + (- b - c )/b][1 + (- a - c )/c][1 + (- a - b )/a]
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
A =[1 - 1 - c/b][1 - a/c - 1][1 - 1 - b/a]
A =(- c/b)(- a/c)(- b/a) = - 1