Các bài Luyện tập

B?i du?ng h?c sinh gi?i toỏn
L?p 7

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A,
vẽ tia Bx vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA, trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA.
Chứng minh: a) DA = EC.
b) DA vuông góc với EC.
D
A
B
E
y
C
K
H


x
Bài toán mới :
Bài 1.1: Cho tam giác ABC có Â < 900.
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng
AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC vuông góc với BE
Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900.
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng
AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Từ B kẻ BK CD tại K
Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng.
Bài 1.3: Cho tam giác ABC có Â < 900.
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A .
Chứng minh rằng : MA BC.
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE
Bài 1.5: Cho tam giác ABC có Â < 900.
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Gọi H trung điểm của BC .
Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE
Bài 1.6: Cho tam giác ABC có Â < 900.
Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 2 : Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C. Trên cạnh BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. I là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng: B, I, C thẳng hàng

Bài 2.1 : Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C.
Trên cạnh BA lấy điểm M, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho BM= CN. Các đường thẳng
vuông góc với BC kẻ từ M và N cắt AB, AC
lần lượt ở D, E. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt phân giác
góc A ở O. Chứng minh OB = OC.
Bài 2.2 :
Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I .
Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của MN.
b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi
qua một điểm cố định khi M, N thay đổi
Bài 3: Cho ∆ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E. Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng : AI BC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . a) Chứng minh: BA = BH
b) Tính góc DBK?
c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK
Bài 3: Cho ∆ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh: BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Kẻ BH vuông góc với Ax, CK vuông góc với Ax. Chứng minh BH + CK không lớn hơn BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.