Bt gtln-gtnn-03-2018

BÀI TẬP TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Bài 1: : Tìm GTNN và GTLN của A =

Giải: Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
=
- 1
-1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =
= 4 -

4
Bài 2: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đến đây ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
x + y = 1
x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
Mà (x – y)2
0 Hay: x2 - 2xy + y2
0 (2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )
1
x2 + y2


minA =
khi và chỉ khi x = y =

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -
)2 +



minA =
khi và chỉ khi x = y =

Cách 3: Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
+ a thì y =
- a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
x2 + y 2 = (
+ a)2 + (
- a)2 =
+2 a2

=> MinA =

a = 0
x=y =

Bài 3: Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2
ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2
2

minA= 2
y=0
x=2
Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn nhất
A nhỏ nhất

lớn nhất
B nhỏ nhất với B > 0
Bài 4: Tìm GTLN của

(Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi
nhỏ nhất và ngược lại)
Ta có :
=
.Vậy

1
min
= 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
Bài 5: Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2
( 22+32 ).52
( 2x + 3y )2
13.13.4

2x + 3y
26. Vậy maxA = 26


Thay y =
vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4
x2 = 16
x=4 hoặc x= -4
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y
0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y
0
Vậy Max A = 26
x =4 , y = 6
Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
Bài 6: cho x, y > 0 thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức :

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm
ta có:
(1)
Lại có:
(2 )Từ (1) và (2) suy ra :
.
Vậy Min A = 8
Phân tích sai lầm:
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi

Đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.
Giải đúng: Vì x + y = 1 nên

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm
Ta có :

Dấu “=” xẩy ra khi

Bài 7: cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT :

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm
Ta có:
(1)
Áp dụng BĐT cô si cho hai số không âm
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2) =>A