Bồi dưởng hsg toan 6
Chia sẻ bởi Lê Nhất Trung |
Ngày 10/10/2018 |
26
Chia sẻ tài liệu: bồi dưởng hsg toan 6 thuộc Tiếng Anh 6
Nội dung tài liệu:
Người viết : NGuyễn Văn Quyền
Dãy Số phức tạp
Bài toán 1 : Tính các tổng sau
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Giải :
2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi đó : 2A – A = 211 – 1
3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi đó : 3B – B = 2B = 3101 – 1 .
Vậy B =
Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :
Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 và n ∈ Z+
Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Rồi trừ cho S ta được :
aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . Vậy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = .
Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) .
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau:
c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3
d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008
Bài toán 2 : Tính các tổng sau
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
Giải :
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A ta được :
32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . Vậy A = ( 3102 – 1): 8
Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8
2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được :
72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . Vậy B = ( 7101 – 7) : 48
Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009
B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200
C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101
D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399
Tổng quát : Tính *
b) , với ()
c) , với ()
Bài tập khác : Chứng minh rằng :
A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hết cho 21 và 15
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hết cho 52
C = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hết cho 30 và 31
Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Lời giải 1 :
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(
Dãy Số phức tạp
Bài toán 1 : Tính các tổng sau
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Giải :
2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi đó : 2A – A = 211 – 1
3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi đó : 3B – B = 2B = 3101 – 1 .
Vậy B =
Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :
Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 và n ∈ Z+
Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Rồi trừ cho S ta được :
aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . Vậy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = .
Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) .
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau:
c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3
d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008
Bài toán 2 : Tính các tổng sau
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
Giải :
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A ta được :
32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . Vậy A = ( 3102 – 1): 8
Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8
2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được :
72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . Vậy B = ( 7101 – 7) : 48
Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48
Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :
A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009
B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200
C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101
D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399
Tổng quát : Tính *
b) , với ()
c) , với ()
Bài tập khác : Chứng minh rằng :
A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hết cho 21 và 15
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hết cho 52
C = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hết cho 30 và 31
Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10
Lời giải 1 :
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Lê Nhất Trung
Dung lượng: 568,50KB|
Lượt tài: 0
Loại file: doc
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)