Boi duong HSG THCS phần PP giải phương trình nghiệm nguyên

Bài viết: ứng dụng tính chia hết
vào việc giảt một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên.
Lê Trọng Châu
Phó Trưởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Hà Tĩnh
(Mail: [email protected] – 0393.650 775– 0985 997 942)
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng HSG môn toán ở trường phổ thông tôi thấy rằng học sinh có thể tiếp thu một cách dễ dàng các phép tính số học, thực hiện tốt các dãy tính các phức tạp... Song, khi gặp một số bài toán nghiệm nguyên của một phương trình thì đa số học sinh thường " lúng túng", nhiều em còn "né tránh", ngại tiếp xúc. Điều đó ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển tư duy toán học như ; tính mềm dẻo, tính linh hoạt, sáng tạo... của các em sau này.
ở bài viết này tôi xin trình bày một số ứng dụng của tính chia hết để giải một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên trao đổi với bạn đọc và các bậc đồng nghiệp cùng các em học sinh, nhằm phục vụ công tác dạy học ngày càng tốt hơn.
Khi giải một phương trình có thể sử dụng nhiều phương pháp giải nên ở bài viết này tôi không đề cập đến việc trình bày cụ thể một phương pháp nào mà chỉ trao đổi qua một số dạng toán.
II. Một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên
*Dạng 1: Phương trình bậc nhất 2 ẩn dạng: ax + by = c ( a,b,c z )
Bài toán 1.1: Cho phương trình: + 30 y = 11994 (1)
a/ Tìm nghiệm nguyên của ( 1) b/ Tìm nghiệm nguyên dương của ( 1)
Hướng giải:
a/ Tìm nghiệm nguyên của (1):
Dễ thấy 30y 6 và 11994 6 nên (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 6 mà (17,6) =1 => x 6
Đặt x = 6 k (k nguyên) khi đó (1) có dạng ; 17 k + 5y = 1999

Từ đây ta có : x= 12 - 30 t (*)
y= 393 + 17 t (**)
Thay các công thức (*) và (**) vào (1) phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) được biểu thị bởi công thức: x = 12 - 30 t
y = 17 t + 393 ( t z)
b/ Tìm nghiệm nguyên dương:
Phương trình ( 1) có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi 12 - 30 t > 0 và
17t + 393 > 0 suy ra:
Vì t Z nên t { 0; -1 ; -2.....; -22 ; - 23 } có 24 giá trị của t. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (1) tương ứng với các giá trị của t khi thay vào các công thức trên, phương trình (1) có 24 nghiệm nguyên dương.
* Nhận xét:
1. Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương thì chúng ta phải giải các điều kiện ở công thức nghiệm để giới hạn phạm vị xác định nghiệm.
2. Việc tách các giá trị nguyên của biểu thức có nhiều cách.
Chẳng hạn:

Tuy nhiên cách tách trong bài giải trên đơn giản hơn so với những cách (a); (b); (c) trên vì khi gải (a);