BỒI DƯỠNG HSG

CHÀO MỪNG CÁC THẦY GIÁO, CÔ GIÁO
Rèn kĩ năng giải toán
liên quan đến diện tích hình tam giác
cho học sinh lớp 5.
VỀ DỰ CHUYÊN ĐỀ
KIM AN tháng 8 năm 2013
I- LÝ DO LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ:
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
Toán tính diện tích hình tam giác được đưa vào chương trình lớp 5 nhằm giúp
các em biết tính diện tích một hình tam giác bất kì. Muốn học sinh lớp 5 làm tốt các bài toán về diện tích hình tam giác thì giáo viên phải rèn kĩ về các kĩ năng tính toán, đo đạc, ước lượng, vẽ hình và sử dụng thành thạo quy tắc tính diện tích hình tam giác, các nhận xét được suy luận và rút ra từ quy tắc tính hình tam giác. Từ việc cắt ghép hình để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác sẽ giúp cho học sinh phát triển trí thông minh, năng lực sáng tạo. Bên cạnh đó, kĩ năng cắt ghép hình, so sánh diện tích các hình ở học sinh cũng được phát triển.
"Hình tam giác - Diện tích hình tam giác" được đưa vào chương trình Toán lớp 5 cấp Tiểu học ở 3 tiết chính:
Tiết 88: Hình tam giác
Tiết 89: Diện tích hình tam giác
Tiết 90: Luyện tập
Nhưng lại được vận dụng "tính diện tích hình tam giác" vào rất nhiều trong những tiết Luyện tập chung và xuyên suốt cho đến những bài cuối cùng của chương trình Toán 5. Mặt khác, trong các đề thi học sinh giỏi cấp Tiểu học, các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác thường xuyên được đề cấp đến và là "điểm chốt" của phần phát hiện nhân tài.
Việc học toán bậc Tiểu học sẽ rèn luyện cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề; bồi dưỡng cho các em tính chính xác, đức tính trung thực cẩn thận và hăng say lao động; góp phần phát triển trí tuệ, trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo ở học sinh; hình thành cho các em cách nhìn nhận sự vật hiện tượng trong thực tiễn; từ đó, giúp các em phát triển toàn diện nhân cách con người mới xã hội chủ nghĩa.
Học sinh tiểu học có thể tiếp thu một cách dễ dàng các phép tính số học, thực hiện tốt các dãy tính, giải các bài toán có lời văn với các con số nhưng khi gặp một bài toán hình học (trong đó có yếu tố hình tam giác), đa số các em đều nản chí nhất là các bài toán đòi hỏi suy luận hình học. Điều đó ảnh hưởng rất lớn đến việc học phân môn hình học trong môn Toán ở các cấp học trên.

Để hướng dẫn học sinh giải thành thạo các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác, phát triển tư duy hình học cho các em đòi hỏi người giáo viên phải có những kiến thức cơ bản về phương pháp để trang bị cho học sinh kiến thức chắc chắn (từ cơ bản đến nâng cao); đồng thời, góp phần làm tốt công tác Bồi dưỡng giáo viên theo kế hoạch của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương
Rèn kĩ năng giải toán
liên quan đến diện tích hình tam giác
cho học sinh lớp 5.
CHUYÊN ĐỀ
I- LÝ DO LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ:
II- PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG:
- Chuyên đề chỉ đề cập đến nội dung, phương pháp và rèn phát triển tư duy cho học sinh khi giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác.
- Đối tượng là giáo viên các trường tiểu học và học sinh lớp 5
III- MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa bài tập, đưa ra nội dung, phương pháp nhằm nâng cao năng lực chuyên môn cho cán bộ giáo viên và rèn kĩ năng, phát triển tư duy học sinh khi giải toán kiên quan đến diện tích hình tam giác.
- Giải quyết vấn đề về phương pháp dạy học tích cực sáng tạo, dạy học phân hóa đối tượng học sinh. Từ đó, hình thành thói quen tư duy cho học sinh.
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp điều tra thực trạng
- Phương pháp đối chứng, so sánh
- Phương pháp phân tích tổng hợp
- Phương pháp kiểm tra đánh giá
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
Phần thứ hai: nội dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Khi dạy về hình tam giác việc xây dựng công thức còn mang tính áp đặt,học sinh phải công nhận trong khi học sinh chưa hiểu vì sao lại làm thế; hoặc có hướng dẫn thì chỉ dựa vào gợi ý của sách bài soạn, sách thiết kế bài giảng còn việc mở rộng kiến thức phát triển tư duy cho học sinh còn ít được chú ý đến nên học sinh chưa hiểu được bản chất của công thức và chưa nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình tam giác, các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính diện tích hình tam giác.
Trong thời gian giảng dạy, giáo viên chỉ đề cập nội dung trong sách, về phương pháp chủ yếu là giải bài tập rồi làm rõ kết quả. Phương pháp dạy giải các bài toán nâng cao đôi khi giáo viên chưa đi sâu nghiên cứu để phân dạng bài, để lựa chọn những phương pháp giải hay nhất phù hợp với đặc điểm tâm lí và khả năng tiếp thu của học sinh. Một số giáo viên có trình độ chuyên môn cao thì lại áp dụng các tính chất của các yếu tố trong hình tam giác ở nội dung Sách giáo khoa lớp 7 (như đường trung bình, đường trung trực, đường trung tuyến, trọng tâm, trực tâm, Định lí Pi-ta-go,....) và áp đặt điều đó là hiển nhiên có để học sinh giỏi so sánh và tính diện tích hình tam giác.

Đặc biệt, ghi nhớ của học sinh không được tốt nên giáo viên gặp nhiều khó khăn lúng túng, chưa đưa được hệ thống bài tập phát triển tư duy, chưa rèn cho học sinh phương pháp tư duy cho học sinh..
1.Về phía giáo viên:
2.Về phía học sinh:

Do nhận thức các em ở mức độ cảm tính dẫn đến việc giải toán còn máy móc đơn giản, tư duy chưa phát triển nên việc hiểu và làm thành thạo những bài toán về diện tích hình tam giác còn hạn chế, điều đó dẫn đến nhiều học sinh không lí giải nổi dựa vào đâu mà khi tính diện tích hình tam giác lại lấy độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2, hay khi gặp các bài toán khá đơn giản dựa vào công thức tính xuôi, tính ngược hoặc các bài toán có liên quan đến mối quan hệ tỉ lệ của đáy, chiều cao và diện tích hình tam giác thì các em lười suy nghĩ, không tìm được cách giải hợp lí và thường bỏ qua.

Khi áp dụng để làm một số bài tập ứng dụng trong thực tế, học sinh khá giỏi lại gặp những khó khăn, lúng túng đặc biệt là trong trường hợp tính diện tích hình tam giác khi ta chưa biết cụ thể độ dài đáy và chiều cao tương ứng. Thời gian dạy ít, kiến thức mở rộng, nâng cao về mảng kiến thức liên quan đến diện tích hình tam giác với HS còn hạn chế nên học sinh không được rèn luyện nhiều thành kỹ năng kỹ xảo, chưa có phương pháp tư duy lô gic để giải quyết các dạng bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác.

Học sinh giải bài tập tư duy chưa có hệ thống, đặc biệt là xác định đường cao, diện tích hình tam giác. Trong các đề thi học sinh giỏi, hầu hết đều đề cập đến hình tam giác và diện tích hình tam giác. Song số lượng học sinh làm được không nhiều, có em được học bài như đề thi rồi nhưng lại quên, không nhớ cách giải.
Phần thứ hai: nội dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC
II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:
Nhận diện các yếu tố của hình tam giác
và vẽ hình.

Mục tiêu: Giúp học sinh nắm chắc về khái niệm hình tam giác, các yếu tố của hình tam giác (cạnh, góc, đỉnh, đáy, đường cao, chiều cao), nhận diện được hình tam giác dựa vào góc, chỉ ra và vẽ được đường cao của hình tam giác bất kì khi biết cạnh đáy.
Đối với học sinh giỏi, cần giới thiệu cho các em biết cách nhận diện hình tam giác dựa theo cạnh: hình tam giác đều (hình tam giác có 3 cạnh dài bằng nhau), hình tam giác cân (hình tam giác có hai cạnh dài bằng nhau)
Hình tam giác
*Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc.
Hình tam giác có 3 góc nhọn
Hình tam giác có 1 góc tù và 2 góc nhọn
Hình tam giác có 1 góc vuông và 2 góc nhọn
* Hình tam giác có đáy và đường cao.
Dùng công cụ ê-ke để vẽ và xác định đường cao.
AH là đường cao ứng với đáy BC
AB là đường cao ứng với đáy BC
B
Sách giáo khoa Toán 5 trang 87 đã trình bày rõ phần lí thuyết cơ bản, cách hình thành quy tắc và công thức tính diện tích hình tam giác:
Cụ thể: Cho hai hình tam giác bằng nhau. Lấy một hình tam giác đó, cắt theo đường cao để thành hai mảnh tam giác 1 và 2. Ghép hai mảnh 1 và 2 vào tam giác còn lại để được hình chữ nhật (như hình vẽ):
Dựa vào hình vẽ ta có: Hình chữ nhật ABCD có chiều dài bằng độ dài đáy DC của hình tam giác EDC, có chiều rộng bằng chiều cao EH của hình tam giác EDC. Diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 2 lần diện tích hình tam giác EDC.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là DC x AD = DC x EH.

Vậy diện tích hình tam giác EDC là DC x EH
2
2. Diện tích hình tam giác

* Quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác.
Quy tắc:
Muốn tính diện tích hình tam giác ta lấy độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2.

Công thức: S =


(S là diện tích, a là độ dài cạnh đáy,

h là chiều cao, a và h cùng đơn vị đo)
h

- Tính độ dài cạnh đáy hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho chiều cao tương ứng

Công thức: a =

(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)


* Tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác.

- Tính chiều cao hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính chiều cao của hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho độ dài cạnh đáy tương ứng)

Công thức: h =

(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)
3. Các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính diện tích tam giác:
(Thực chất là mối quan hệ tỉ lệ giữa diện tích, đáy, chiều cao của hình tam giác)
*Vậy hai hình tam giác có chung chiều cao, độ dài cạnh đáy tương ứng với chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

Ví dụ 1 S ABD = ; S ADC =

Mà BD = DC nên S ABD = S ADC
D
B
H
C
A
D
B
H
C
A
(BD = DC)
SADC= ; SBDC=
AH x DC
2
BK x DC
2
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD. Nối A với C, B với D.
So sánh SADC và SBDC
* Vậy hai hình tam giác có chung cạnh đáy, chiều cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
B
K
H
C
D
A
Mà AH = BK nên SADC = SBDC
Ví dụ 3: Hình chữ nhật ABCD, E là trung điểm của DC. Nối A với E, B với E. So sánh SADE và SBCE


SADE = ; SBCE=

Mà AD = BC; DE = CE

nên SADE = SBCE
* Vậy hai hình tam giác có độ dài cạnh đáy bằng nhau, chiều cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
B
E
D
C
A
Qua 3 trường hợp vừa nêu, ta có:

Nhận xét 1: Hai (hay nhiều) hình tam giác có chiều cao bằng nhau (hoặc có chung chiều cao), độ dài cạnh đáy tương ứng với đường cao bằng nhau (hoặc có chung đáy) thì diện tích hai (hay nhiều) hình tam giác đó bằng nhau.
SADE = = =

Vậy SHDC = SADE


Ví dụ 4: Hình chữ nhật ABCD. E là trung điểm của DC, H là trung điểm của BC. So sánh SHDC và SADE
Nhận xét 2: Khi diện tích hai hình tam giác không đổi, độ dài cạnh đáy tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì chiều cao tương ứng giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
SHDC =
H
E
D
C
B
A
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD vuông ở C và D, có AD = BC.
Nối A với C, B với D. Hãy so sánh diện tích tam giác ADC
và BDC
Nhận xét 3: Khi độ dài cạnh đáy của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số hai chiều cao tương ứng với đáy.

SADC = ; SBDC =


Mà AD = BC nên SADC = SBDC
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, EC = BE.
So sánh SACE và SABE
Nhận xét 4: Khi chiều cao của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số độ dài hai cạnh đáy tương ứng .
1) Khi h1 = h2 , a1 = a2 thì S1 = S2
2) Khi S1 = S2 thì


3) Khi a1 = a2 thì

4) Khi h1 = h2 thì
* Các nhận xét được rút ra từ mối quan hệ tỉ lệ giữa diện tích, đáy, chiều cao của hình tam giác:
* Các quy tắc, công thức và những nhận xét trên là công cụ quan trọng để giải các bài toán về diện tích hình tam giác. Nhưng khi vào các bài toán cụ thể, phải biết vận dụng linh hoạt các công thức tính, các nhận xét đó và phải biết vẽ hình phụ trợ để giải được các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.

* Để học sinh nắm chắc quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác, cách tính các yếu tố (đáy, chiều cao) và các nhận xét được rút ra từ diện tích tam giác vô cùng đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải sử dụng thành thạo và linh hoạt các kiến thức, các yếu tố có liên quan đến tam giác, diện tích tam giác để giải các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác. Giáo viên cần hệ thống hóa bài tập, rèn kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh.
1. Khi dạy về các yếu tố trong tam giác, giáo viên truyền đạt khái niệm về đỉnh, cạnh đáy và đường cao, chiều cao chủ yếu qua việc giới thiệu cho học sinh dựa vào hình vẽ mà chưa nêu được bản chất của nó. Đặc biệt chưa xác định rõ mối quan hệ ràng buộc giữa đáy và đỉnh trong tam giác nên việc xác định đường cao, cách vẽ đường cao bằng việc dùng ê-ke học sinh gặp nhiều lúng túng.
Một số vướng mắc thường gặp:
Ví dụ: Học sinh đặt ê-ke để vẽ đường cao và đánh dấu kí hiệu chân đường cao như sau:
2. Việc giải các bài toán tính diện tích hình tam giác (bài toán tính xuôi theo quy tắc) thì học sinh áp dụng quy tắc và thực hiện được như mẫu. Song với những bài toán tính độ dài cạnh đáy hoặc chiều cao (bài toán tính ngược), học sinh thường lúng túng và không giải được (đặc biệt đối với những học sinh tiếp thu bài chậm).
3. Thời lượng dành cho mảng kiến thức về hình tam giác và diện tích tam giác là rất ít (chỉ có 3 tiết), các bài tập luyện tập trong sách giáo khoa đều chỉ áp dụng quy tắc, công thức tính là giải được. Điều đó rất khó khăn trong việc bồi dưỡng tổng hợp kiến thức sao cho vừa sức học sinh, đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng mà lại phân hóa được đối tượng học sinh.
4. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nếu không sử dụng và không nhớ các tính chất và định lí hình học đã học phổ thông thì việc truyền đạt kiến thức cho học sinh không chính xác. Hơn nữa, nếu áp đặt các định lí, kiến thức ở Trung học cơ sở để dạy học sinh tiểu học thì không phù hợp
5. Nếu như áp đặt kiến thức sách giáo khoa là có sẵn và gần như hoàn toàn tuân thủ sách hướng dẫn giáo viên thì chưa diễn giải cho học sinh hiểu nguồn gốc kiến thức đó là thế nào? Và tại sao lại như vậy? Chúng ta chưa có phương pháp rèn kĩ năng tư duy cho học sinh, chưa nắm chắc mối quan hệ tỉ lệ giữa đáy, chiều cao, diện tích hình tam giác dẫn đến học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán nâng cao. Chúng ta cần đặc biệt chú ý đến phương pháp rèn kĩ năng tư duy cho học sinh trong giai đoạn cuối cấp khi mà tư duy trừu tượng của các em mới dần hình thành và phát triển.
6. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, có khi chúng ta lại áp đặt các định lí, kiến thức ở Trung học cơ sở để dạy học sinh tiểu học.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy trung điểm M, trên AC lấy trung điểm N. Nối BN, CM cắt nhau tại I (hình vẽ bên). Hãy so sánh diện tích hình tam giác BIM và CIN.
Với các dữ kiện M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, áp đặt Định lí về đường trung bình trong tam giác (Chương trình Toán Trung học cơ sở) nên khi nối M với N, giáo viên khẳng định hiển nhiên MN song song với BC và kết luận tứ giác MNCB là hình thang.
Một số vướng mắc thường gặp:
Vì vậy, học sinh thường giải bài toán như sau:
SMBC = SNBC(Vì chung đáy BC và chiều cao đều là chiều cao hình thang MNCB)
Hai tam giác MBC và NBC có phần chung BIC nên SBIM = SCIN
I
N
M
C
B
A
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
Bài toán cho biết gì? (Giả thiết),
Bài toán hỏi gì? (Kết luận).
Vẽ hình minh họa và quan sát hình vẽ.

Bước 2: Lập kế hoạch giải bài toán
(Dựa vào công thức, các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính diện tích hình tam giác để phân tích bài toàn và tìm hướng giải bài toán).

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán
(Trình bày bài giải)

Bước 4: Tự kiểm tra đánh giá kết quả
Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập cần thực hiện các bước như sau:

Phần thứ hai: nội dung
I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC
II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:
III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Nhận diện các yếu tố của hình tam giác và vẽ hình.
Hình tam giác
1) Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc.
C
B
A
Hình tam giác ABC có:
Ba cạnh: cạnh AB, cạnh BC, cạnh AC
Ba đỉnh: Đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C
Ba góc:
Góc đỉnh A cạnh AB và AC (góc A)
Góc đỉnh B cạnh BA và BC (góc B)
Góc đỉnh C cạnh CA và CB (góc C)
2.1. Hình tam giác có ba góc nhọn:
Hình tam giác ABC:
AH là đường cao ứng với đáy BC
BI là đường cao ứng với đáy AC
CK là đường cao ứng với đáy AB
2.2. Hình tam giác có một góc tù và hai góc nhọn:
Hình tam giác MNP:
ME là đường cao ứng với đáy PN
NH là đường cao ứng với đáy MP
PG là đường cao ứng với đáy MN
2.3. Hình tam giác có một góc vuông và hai góc nhọn:
Hình tam giác EGH:
HE là đường cao ứng với đáy EG
GE là đường cao ứng với đáy EH
EB là đường cao ứng với đáy HG
2) Xác định đường cao và đáy của hình tam giác
H
G
E
P
N
M
H
G
E
P
N
M
- Đường cao của hình tam giác là đoạn thẳng hạ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện (cạnh đối diện gọi là cạnh đáy). Độ dài đường cao là chiều cao của hình tam giác.
Chú ý:
- Cả ba cạnh của hình tam giác đều có thể chọn làm cạnh đáy của hình tam giác đó.
- Như vậy, trong mỗi hình tam giác có 3 cạnh đáy, 3 chiều cao, mỗi cạnh đáy có một chiều cao tương ứng, không thể chọn cạnh đáy và chiều cao tùy ý.
Mở rộng: Đường cao của nhiều hình tam giác có chung
một đỉnh

* Hình (1) gồm 3 tam giác chung đỉnh A: ABC, ACD và ABD đều có chung đường cao AH.
* Hình (2) gồm 6 tam giác chung đỉnh A: ABM, AMN, ANC, ABN, AMC và ABC đều có chung đường cao AH.
A
A
C
D
H
Hình (1)
B
* Hình (3) gồm 2 tam giác vuông chung đỉnh A: ABC, ABD và 1 tam giác có một góc tù ADC có chung đường cao AB (là một cạnh của góc vuông đỉnh B).
* Hình (4) gồm 3 tam giác có một góc tù chung đỉnh A: ABD, ADC và ABC có chung đường cao AH (nằm ngoài các tam giác đó).
A
B
C
D
A
B
C
H
D
Hình (3)
Hình (4)
* Đường cao của nhiều hình tam giác
không chung đỉnh.
A M N B
D H K C
Hình (1)
A H M K N I D
B E C
Hình (2)
HS cần chỉ ra được đường cao
và dùng ê-ke vẽ được đường cao hình tam giác.
AH là đường cao
ứng với đáy BC
AH là đường cao
ứng với đáy BC
AB là đường cao
ứng với đáy BC
Thực tế trong quá trình hướng dẫn học sinh vẽ đường cao trong tam giác, học sinh rất lúng túng khi đặt thước ê-ke để vẽ đường cao. Chúng ta cần mô tả ê-ke, chỉ rõ cho học sinh đâu là góc vuông của ê-ke, đâu là cạnh góc vuông của ê-ke. Khi vẽ đường cao trong tam giác cần đặt ê ke vào hình vẽ sao cho một cạnh góc vuông của ê-ke trùng với cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại đi qua đỉnh của tam giác. Vừa mô tả bằng hình vẽ trực quan, vừa mô tả bằng đồ dùng dạy học:
Cần tránh để HS đặt thước ê-ke để vẽ đường cao như các trường hợp sau:
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Vẽ đường cao tương ứng với các cạnh đáy cho mỗi tam giác sau:
B
A
B

Bài 2: Cho hình vẽ sau:
a. Nêu tên những tam giác có chung chiều cao BG.
b. Nêu tên những tam giác có chung chiều cao DH.
c. Nêu tên các tam giác có chung cạnh đáy AC.
2. Hình thành quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác:
Bước 1: Dựa vào cách tính diện tích của các hình đã học (hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi), kết hợp sử dụng đồ dùng trực quan hoặc suy luận tư duy qua cắt ghép trên giấy nháp, học sinh tự tìm cách tính diện tích hình tam giác.


Ở bước này, đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nên để tự học sinh khám phá và tìm ra kiến thức; đối với học sinh trung bình và yếu, giáo viên nên gợi ý, hướng dẫn học sinh học sinh để tất cả học sinh đều tự mình tìm ra kiến thức và chiếm lĩnh được kiến thức.
2.1. Quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác:
Cách 2: Từ một hình tam giác, cắt và ghép lại được một hình chữ nhật:
Cách 3: Ghép hai hình tam giác bằng nhau thành một hình bình hành, cạnh đáy của hình tam giác là cạnh đáy của hình bình hành thì chiều cao tương ứng của hình tam giác cũng là chiều cao của hình bình hành.
Cách 1: Thực hiện như sách giáo khoa Toán 5 trang 87
- Cắt lấy 2 hình tam giác bằng nhau, dùng ê ke vẽ đường cao của mỗi hình tam giác (như hình vẽ)
Bước 2: Giáo viên thực hiện lại thao tác một cách làm dễ hiểu và nhanh nhất để tìm ra quy tắc tính diện tích hình tam giác

S =
S là diện tích, a là độ dài đáy, h là chiều cao (a và h cùng đơn vị đo)
Bước 3: Lập công thức tính diện tích hình tam giác
* Với hình tam giác vuông:
Diện tích hình tam giác vuông bằng tích của hai cạnh góc vuông (cùng đơn vị đo) chia cho 2.
h


Xuất phát từ công thức tính diện tích hình tam giác HS đã học:





(Trong đó S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng với đáy; a, h cùng đơn vị đo)
GV hướng dẫn HS cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác như sau:

2.2. Cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác.


S =
* Tính chiều cao hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính chiều cao của hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho độ dài cạnh đáy tương ứng.

Công thức: h =

(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)

* Tính độ dài cạnh đáy hình tam giác:
Quy tắc: Muốn tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho chiều cao tương ứng

Công thức: a =

(S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng)


3. Rèn kĩ năng giải toán cho học sinh.
Dạng 1: Chia hình cho trước thành các phần theo tỉ số diện tích.
Dạng 2: Vận dụng quan hệ tỉ lệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác
Dạng 3: Giải bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác bằng phương pháp cắt, ghép hình.
Dạng 2: Vận dụng quan hệ tỉ lệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác
Dạng 1: Chia hình cho trước thành các phần theo
tỉ số diện tích.
Trường hợp 1: Kẻ đoạn thẳng đi qua đỉnh tam giác chia hình tam giác thành các phần theo tỉ số diện tích.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A, em hãy kẻ các đoạn thẳng để chia tam giác ABC ra thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Từ bài toán 1 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng qua đỉnh tam giác chia tam giác thành nhiều phần có diện tích bằng nhau.
Chẳng hạn:
- Hình (1) kẻ thêm 2 đoạn thẳng qua đỉnh A chia tam giác ABC thành 3 phần có diện tích bằng nhau.
- Hình (2) kẻ thêm 2 đoạn thẳng qua đỉnh A và đỉnh B chia tam giác ABC thành 3 phần có diện tích bằng nhau..
Hình 1:
Hình 2:
Từ bài toán 1 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng qua đỉnh tam giác chia tam giác thành nhiều phần có diện tíc bằng nhau.
Chẳng hạn:
- Hình (1) kẻ thêm 3 đoạn thẳng qua đỉnh A chia tam giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau.
- Hình (2) kẻ thêm 3 đoạn thẳng qua đỉnh A , đỉnh B và đỉnh C chia tam giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau..
B
A
C
A
B
C
M
P
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A kẻ một đoạn thẳng cắt cạnh BC tại điểm D sao cho diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác ABC.
* GV nhấn mạnh: Đối với bài toán kẻ đoạn thẳng đi qua một đỉnh của tam giác chia tam giác thành các phần có diện tích bằng nhau hoặc theo tỉ lệ nào đó ta cần dựa vào tỉ lệ diện tích để chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh đó thành các phần theo tỉ lệ diện tích đã cho.
Từ cách vẽ như vậy, chúng ta có thể ra các đề toán rèn kĩ năng phát hiện những tam giác có diện tích bằng nhau cho học sinh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC (hình vẽ), điểm M trên BC, MB=MC, điểm P trên AM, AP=PM. Viết tên các cặp tam giác có diện tích bằng nhau.
(Đề khảo sát HSG lớp 5 vòng 2 huyện Ninh Giang,
năm học 2012-2013):
Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đoạn thẳng cắt hai cạnh AB và AC chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Trường hợp 2: Kẻ đoạn thẳng đi qua hai cạnh của tam giác chia hình tam giác thành các phần theo tỉ số diện tích.

A

Dạng 2: Vận dụng quan hệ tỉ lệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác
Mức độ 1: Đạt yêu cầu chuẩn kiến thức - kĩ năng

*Tiết học lí thuyết - ngay sau khi hình thành quy tắc tính diện tích hình tam giác, chúng ta hướng dẫn HS vận dụng công thức tính diện tích hình tam giác để giải bài tập theo các dạng và rèn kĩ năng giải toán như SGK


*Tiết luyện tập chung về tính diện tích
- Bài tập vận dụng công thức tính ngược về diện tích hình tam giác Rèn cho HS kỹ năng tính độ dài cạnh đáy và tính chiều cao của hình tam giác.
Bài 1: Cho tam giác ABC có đáy BC dài 8cm. Kéo dài BC về phía C một đoạn CD dài 4cm thì diện tích tam giác tăng thêm 12cm2 (như hình vẽ). Tính diện tích hình tam giác ABC
- Để tính diện tích hình tam giác ABC khi mới biết đáy BC dài 8cm thì cần biết chiều cao AH của tam giác.
- Nhận xét chiều cao tam giác ABC (ứng với đáy BC) và chiều cao tam giác tam giác ACD) ứng với đáy CD: Hai tam giác ABC và ACD có chung chiều cao hạ từ A (Chiều cao AH).
- Để tính được chiều cao AH, dựa vào quy tắc tính chiều cao và các dữ kiện đã cho ở hình tam giác ACD (Hình tam giác ACD đã biết diện tích và đáy thì tính được chiều cao).
* Bài tập củng cố, bồi dưỡng kiến thức dành cho học sinh đại trà trong các tiết học buổi 2:
GV ra bài tập tương tự các bài tập nêu trên và phát triển thêm:
Với học sinh khá giỏi: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải khác theo hướng sau:
Như vậy: - Trước hết cần xác định tỉ số giữa số đo hai cạnh đáy của hai tam giác:
Tỉ số của cạnh đáy CD và cạnh đáy BC là: 4 : 8 = (hay CD= BC)

- Tiếp theo, xác định được tỉ số diện tích tam giác ACD và ABC:

SACD = S ABC(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A và đáy CD= BC)

Từ đó tính diện tích tam giác ABC: 12 : = 24 (cm2)
Nhận xét về chiều cao của hai hình tam giác
HS nắm được mối quan hệ giữa hai hình tam giác ABC và ACD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A. Như vậy áp dụng nhận xét 4 về diện tích tam giác, học sinh giải được một cách dễ dàng. (Nhận xét 4: Khi chiều cao của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số hai độ dài cạnh đáy tương ứng)
Bài 2: Cho tam giác ABC có đáy BC dài 8cm. Kéo dài BC về phía C một đoạn CD dài 4cm. Biết diện tích tam giác ABC là 24 cm2. Tính diện tích phần tăng thêm.
Đề bài: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 30cm. Chiều cao AH bằng độ dài đáy BC.
Tính diện tích tam giác ABC
Kéo dài BC về phía C một đoạn CM (như hình vẽ). Tính độ dài đoạn CM, biết diện tích tam giác ACM bằng 20% diện tích tam giác ABC
(Đề khảo sát đầu vào lớp 6 năm học 2013-2014)
Đề bài: Cho hình thang ABCD (như hình vẽ), đáy lớn bằng 3,6cm, đáy nhỏ bằng đáy lớn, chiều cao AH = 2cm.
Tính diện tích hình thang ABCD.
Tính độ dài DH, biết diện tích tam giác ADH bằng 25% diện tích tam giác AHC.
(Đề khảo sát đầu vào lớp 6
năm học 2011-2012)

Đây là dạng bài tập hay gặp trong các đề thi khảo sát đầu vào lớp 6
M
C
H
B
A
Bài 2: Cho hình vẽ bên



KM = KN = 4cm. Tính diện tích

hình tam giác ABC.
Bước 1: Tìm hiểu cái đã cho và cái cần tìm:
Bước 2: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán bằng sơ đồ:
Bước 3: Trình bày bài giải
Bước 4: Tự kiểm tra lại kết quả
Biết AB + AC = 20cm;
Biết AB = 5,2cm; AC = 6,5cm;
(Đề kiểm tra định kỳ cuối kỳ I
năm học 2012-2013, Huyện Ninh Giang)
Giải lao
Mức độ 2: Nâng cao kiến thức


Vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải một số dạng toán tổng hợp liên quan đến diện tích hình tam giác (Phương pháp phân tích tổng hợp, rèn kĩ năng giải toán và phát triển tư duy dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi)

1. Tính diện tích hình tam giác khi phải giải bài toán phụ để tìm chiều cao hoặc độ dài cạnh đáy.

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc vuông tại A, AB = 5cm, AC = 6cm. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1cm. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. Tính diện tích tam giác BMN.

Bước 1: Vẽ hình. Xác định cái đã cho
và cái cần tìm theo mẫu sau:

Bước 2. Phân tích bài toán, suy luận
để tìm lời giải:
Bước 3: Trình bày bài giải

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích là 48cm2. Cạnh AB = 16cm, AC = 10cm. Kéo dài AB về phía B một đoạn BM, kéo dài AC về phía C một đoạn CN, sao cho BM = CN = 2cm. Nối M với N. Tính diện tích hình tứ giác BCNM.
Phân tích bài toán để tìm lời giải:
Vận dụng linh hoạt các bài toán tính ngược (Tính độ dài đáy khi biết diện tích tam giác và chiều cao tương ứng, hoặc tính chiều cao khi biết diện tích tam giác và độ dài đáy tương ứng) để suy luận tìm hướng giải.

Sau đây là một hướng giải:
Chẳng hạn: Kẻ đường cao BH, NK như hình vẽ. Dựa vào cái đã cho, tính được lần lượt theo thứ tự suy luận như sau:

Tính HB Tính AN và SANB Tính NK Tính SAMN Tính SBCNM
A
2. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 1: Hai (hay nhiều) hình tam giác có chiều cao bằng nhau, độ dài cạnh đáy tương ứng với đường cao bằng nhau thì diện tích hai (hay nhiều) hình tam giác đó bằng nhau.
Bài 3: Cho tam giác ABC có diện tích là 12cm2. Kéo dài AB về phía A một đoạn AE, AC về phía C một đoạn CG và BC về phía B một đoạn BH, sao cho AE = AB; AC = CG; BC = BH. Tính diện tích hình tam giác EGH
Dựa vào nhận xét 1 đã nêu, nhìn hình vẽ và các dữ kiện bài toán đã cho, ta dễ dàng chứng minh được các cặp hình tam giác có diện tích bằng nhau. Đó là:
SABC = SAEC; SAEC = SGEC;
SABC = SABH; SABH = SAEH; SABC = SAEC = SGEC = SABH = SAEH = SGBC =
SABC = SGBC; SGBC = SGBH;
3. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 2: Khi diện tích hai hình tam giác không đổi, độ dài cạnh đáy tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì chiều cao tương ứng giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD,
vuông tại A và D. Đáy AB = CD. Trên
AD lấy M sao cho AM = MD. Tính diện
tích tam giác MCD biết diện tích tam giác
ABD bằng 15cm2
Hai tam giác ABD và MCD có:
Đáy DC = AB x 2. Chiều cao AD = MD x 2.
Suy ra diện tích ABD = diện tích MCD.
Vậy diện tích MCD là 15 cm2
4. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 3: Khi độ dài cạnh đáy của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số hai chiều cao tương ứng với đáy.
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D). Độ dài đáy AB bằng độ dài đáy CD. Kéo dài hai cạnh bên AD và BC về phía A và B cắt nhau tại K. Tính diện tích tam giác KDC, biết diện tích hình tam giác KBD là 90cm2
5. Tính diện tích hình tam giác dựa vào nhận xét 4: Khi chiều cao của hai hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình tam giác bằng tỉ số hai độ dài cạnh đáy tương ứng .
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích
450 m2. Trên BC, AC lấy hai điểm M, N
sao cho CM = BC, NC = AC. Tính
diện tích tam giác MNC?
Cách 1:
Cách 2:Nối AM
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng một nửa AC. Biết diện tích tam giác AMN là 36 cm2. Tính diện tích tứ giác BMNC.
(Đề thi Olympic học sinh tiểu học
tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
36 cm2
Đây là hai bài toán ngược nhau giữa cái đã cho và cái cần tìm. Song về cơ bản cách tư duy tương tự như nhau. GV chỉ cần thay đổi vị trí của điểm M, N để HS luyện kỹ năng tính toán phát triển tư duy rất tốt.
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích
450 m2. Trên BC, AC lấy hai điểm M, N
sao cho CM = BC, NC = AC. Tính
diện tích tam giác MNC?
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng một nửa AC. Biết diện tích tam giác AMN là 36 cm2. Tính diện tích tứ giác BMNC.
(Đề thi Olympic học sinh tiểu học
tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
4) Khi h1 = h2 thì
Bài 8: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho MC gấp đôi MA. Nối B với M, gọi D là trung điểm của BM. Nối A với D. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ADM là 4,5cm2.
(Đề Olympic học sinh tiểu học
cấp huyện, thị xã, thành phố năm học 2011-2012_ Tỉnh Hải Dương)
Tương tự bài 6
Bài 9: Cho tam giác ABC có diện tích là 48cm2. Trên AC
lấy điểm M sao cho AM = MC. Nối B với M. Kéo dài BM
một đoạn MD = BM. Tính diện tích tứ giác ABCD.
(* Lưu ý: Trong các bài toán cho tỉ số độ dài các đoạn thẳng, giúp học sinh dễ nhận ra cách so sánh để xác định tỉ số diện tích dựa vào tỉ số độ dài đáy hoặc tỉ số chiều cao của tam giác, tôi thường dùng điểm chấm vạch rõ số phần bằng nhau ở đáy hay đường cao của tam giác như hình vẽ trên)
- Đối với bài toán yêu cầu tính diện tích một tam giác (ta chưa biết cụ thể số đo độ dài đáy và chiều cao tương ứng với nó) nhưng có mối quan hệ với các tam giác khác thì ta phải xét mối quan hệ giữa các yếu tố của các tam giác đó để tìm ra cách tính.
Bài 10: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho MC = MA,

trên BC lấy điểm N sao cho NC = NB. BM cắt AN tại O. Tính diện

tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABO là 12cm2.
* Lưu ý: Trong giảng dạy các bài toán 5, 6,7, 8,9,10 GV chỉ cần thay vị trí các điểm M,N theo tỉ lệ khác nhau để HS thực hành rèn kỹ năng giải toán nhanh và phát triển tư duy cho HS rất hiệu quả..
6.1.Tính độ dài đoạn thẳng và so sánh độ dài đoạn thẳng
Bài 11: Cho hình tam giác ABC có diện tích 90cm2, cạnh BC dài 24cm. Trên cạnh BC có điểm M sao cho diện tích tam giác ABM bằng 30cm2. Hỏi M cách B bao nhiêu xăng- ti -mét?
6. Một số bài toán sử dụng linh hoạt 4 nhận xét ở trên để giải.
Bài 12: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho MA = MB. Trên AC lấy N sao cho NC = NA; MN cắt BC tại D. So sánh BC và CD
Lưu ý: Trong trường hợp cần so sánh độ dài hai đoạn thẳng hay tính độ dài một đoạn thẳng nào đó trong hình, ta cần so sánh diện tích hai hình tam giác có chung đỉnh và hai cạnh đáy là hai cạnh cần so sánh.
6.2.So sánh diện tích các hình tam giác
SADC = SBDC
SABD = SABC
SAOD = SBOC
Bài 13: Cho hình thang ABCD có đáy bé là AB, đáy lớn DC. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Chứng tỏ rằng SAOD = SBOC
Phương pháp so sánh “phần bù” trong giải toán hình học
Bài 14: Cho tam giác ABC. D là điểm chính giữa của BC, E là điểm chính giữa của AC. AD cắt BE tại I.
a) Hãy so sánh diện tích tam giác IAE và diện tích tam giác IBD.
b) Hãy so sánh diện tích tam giác IAB và diện tích tứ giác EIDC.
Phân tích bài toán

Ta có: SIAE + SABI = SABE; SIBD + SABI = SABD

Hai tam giác ABE và ABD có phần chung là tam giác ABI.

Để so sánh SIAE và SIBD , cần so sánh SABE và SABD
Trong thực tế giảng dạy, rất nhiều học sinh khi chưa nắm được bản chất vấn đề này thì nhìn hình vẽ bài 2 và hiển nhiên cho rằng ED song song với AB nên tứ giác ABDE là hình thang rồi so sánh SABD = SABE một cách dễ dàng tương tự như bài toán 1 như vậy là chưa chính xác.
. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta cần phân biệt rõ vấn đề vừa nêu để học sinh không mắc sai lầm trong việc so sánh diện tích hai hình tam giác.
Bài 13:
Bài 14:
So sánh diện tích tam giác hình tam giác thường xuất hiện nhiều ở hình thang với nhiều tình huống khác nhau. Điều quan trọng là học sinh cần chỉ ra được hình nào chắc chắn chứng tỏ được là hình thang thì mới được vận dụng tương tự như bài toán 1.
Thay đổi vị trí các điểm trên mỗi cạnh tam giác, ta có một số bài toán:
Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, MC cắt BD ở O (như hình vẽ bên). So sánh diện tích tam giác MODvà BOC.
Bài 16: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Từ M kẻ đường song song với AB, từ N kẻ đường songsong với AC chúng cắt nhau tại H. So sánh SAHB và SAHC.
Luyện giải một số bài toán dạng 3:
Luyện giải một số bài toán dạng 3:
Bài 17: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên BC sao cho BM=MC, trên Ac lấy điểm N sao cho AN = NC. MN cắt BN tại E.
So sánh diện tích hai tam giác AEN và BEM.
b) Cho diện tích tam giác AEN bằng 12cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
(Đề khảo sát chọn học sinh giỏi lớp 5- Huyện Ninh Giang
năm học 2012-2013)
a)
b)
Bài 19: . Cho hình vẽ:
Biết diện tích hình vuông ABCD là 0,64dm2. Tính diện tích hình tròn.
b) So sánh diện tích ta