Bồi dưỡng HSG

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Phần I:
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
A. Tóm tắt lý thuyết.
1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.
2.Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
với m.n = k.
3.Phương trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có thể giả sử 1 ( x ( y ( z (.....
4.Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
B. các dạng toán Thường gặp.
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư.
Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau.
(1)
Giải:
Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).
Nếu và là nghiệm của (1). Gọi suy ra
Ta có: chẵn chẵn, vô lý.
Vậy phương trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (1)
Giải:
1)Nếu thì vô lý.
2)Nếu thì từ ta có vàsuy ra Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có dư là 7 từ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Giải:
Giả sử: mà nênsuy ra
nhưng vô lý. Vậy
Phương trình đã cho có thể viếtTừ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số nguyên:
Giải:
1)Nếu x = 2k thì
2)Nếu x = 2k + 1 thì vì và
Vậy Do đó khi chia tổng cho 16 có số dư không vượt quá 7, trong khi đó Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Dạng 2: Phương pháp phân tích.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( với a, b, c ( Z ) (1)
Ta có: (1)


Phân tích với m, n ( Z, sau đó lần lượt giải các hệ:
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Giải:
Ta có:

Giả sửkhi đó và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau:


Giải các hệ trên ta được các nghiệm nguyên dương của phương trình là: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Vì 105 là số lẻ nên
lẻ suy ra y chẵn mà chẵn nên
lẻ ( x = 0.
Với x = 0 ta có phương trình ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nên
hoặc Thử lại ta thấy x = 0, y = - 4