Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học 7

Toán BDHS Giỏi Hình học 7
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có
và
. Gọi Ax là tia đối của tia AB, đường phân giác của góc
cắt phân giác
tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. So sánh độ dài AC và CE.
Giải:
Gọi Cy là tia đối của tia CB. Dựng DH, DI, DK lần lượt vuông góc với BC. AC, AB. Từ giả thiết ta suy ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì nếu điểm I thuộc tia đối của CA thì DI > DH). Vậy CD là tia phân giác của
và
là góc ngoài của tam giâc ABC suy ra
.
Mặt khác
. Do đó,
nên
cân tại C. Vậy CA = CE

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm. Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tự bằng 9 cm và 12cm. Chứng minh rằng:

Giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có:



. Tam giác BGC có
hay
. Suy ra
vuông tại G hay


Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng BI = IK = KE
Giải:
Do AM và BD là hai trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên
(2)
Mà BD = DE từ (1) và (2) suy ra BI = EK (3) . Mặt khác, ta lại có:
và
suy ra ID = KD ( do BD = ED ) nên
(4). Từ (3) và (4) suy ra BI = IK = KE.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm. Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm)
Giải:
Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho DM = DG khi đó AG = GM =
;
;
nên suy ra
(so le trong) nên BM//CG và MB = CG mà
. Mặt khác, ta có
hay
. Suy ra
vuông tại G. Theo định lý Pythagore ta có
. Vậy BC = 2BD =


Bài toán 5: Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn hơn
chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy.
Giải:
Ta có
;
;
nên suy ra
hay
(1)
Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà


nên
.
Tương tự ta có
;
. Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có:

(2).
Kết hợp (1) và (2) suy ra
(đpcm)

Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Vẽ các điểm M, N sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM. Chứng minh N, E, K thẳng hàng.
Giải:
Tam giác MND có BE = EC = CM nên
mà MB là trung tuyến nên E là trọng tâm suy ra NE là trung tuyến của tam giác NMD. Mặt khác, DE //AC do DE là đường trung bình của tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm của ME nên K là trung điểm của DM. Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng.

Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. Gọi N là trung điểm của EC. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua N
Giải:
Tam giác AEC có CI là đường trung tuyến (vì IE = IA) nên
nên M là trọng tâm của tam giác AEC do đó AM đi qua N


Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và
. Tia phân giác của
cắt AC tại E.
Tia phân giác
cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giác AIE vuông