Bồi Dưỡng Đại Số 8

**. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. A= (a + b)2 + c
c => MinA = c
a +b = 0 ....
B = -(a + b)2 + c
c => MaxB = c
a +b = 0 ....
-A lớn nhất
A nhỏ nhất

lớn nhất
B nhỏ nhất với B > 0


2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm

Ta có:

Dấu bằng xảy ra
.
3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai bộ

Ta có:

Dấu bằng xảy ra
.
4. Bất đẳng thức Svac-sơ:

với

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :


* Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
.
Giải : A =
. =
=
.
Ta thấy (3x – 1)2
0 nên (3x – 1) 2 +4
4 do đó


theo tính chất a
b thì


với a, b cùng dấu). Do đó



A
-

minA = -

3x – 1 = 0
x =
.

Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
HD giải:
.
2. Tìm GTLN của BT :
HD Giải:

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
= 2 +

2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
= 3 -
+
= (
-1)2 + 2
minA = 2
y = 1
x – 1 = 1
x = 2
Bài tập áp dụng:
1, Tìm GTNN và GTLN của bt:
2, Tìm GTNN của bt :

3, Tìm GTNN và GTLN của bt:
4, Tìm GTNN của bt : a,

c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =
=
- 1
-1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =
= 4 -

4
Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a,
b,

2, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,
Với x > 0; b,
Với x > 0
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đến đây ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
x + y = 1
x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
Mà (x – y)2
0 Hay: x2 - 2xy + y2
0 (2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )
1
x2 + y2


minA =
khi và chỉ khi x = y =

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -
)2 +



minA =
khi và chỉ khi x = y =

Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
+ a thì y =
- a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
x2 + y 2 = (
+ a)2 + (
- a)2 =
+2 a2

=> MinA =

a = 0
x=y =

Bài tập 1: Tìm Min A =

Cách 1 Ta có: A=








Min A = 2011 khi

Cách 2: