Bộ đề thi HSG Toán 9(năm 2011) co DA

Đề 90



Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức
.
a) Tìm các giá trị của x để
.
b) Chứng minh rằng
với mọi x thoả mãn
.
Bài 2: (5,0 điểm).
Giải các phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 2

Giải hệ phương trình sau:

Bài 3: (3,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

.
Bài 4: (6,0 điểm).
1) Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
2) Cho
ABC đều điểm M nằm trong
ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?
Bài 5: (2,0 điểm).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
với x > 0; y > 0; z > 0 và











1.a)



Ta có
. Từ đó giải được

b)Ta có:

Do
nên
. Vậy

2) Giải, xác định đúng điều kiện:



= 0


(Thỏa mãn)
3) Ta có với x, y >0 thì: ( x+y)2

dấu bằng xảy ra khi x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có:


Tương tự ta có:





. Dấu bằng xảy ra

+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0.
+ Với xyz
0 thì (I) được viết lại:

(II)
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:


(*)
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).

4.
1) Gọi O1, O2, O3 tương ứng là tâm các
đường tròn (C1), (C2), (C3) ta có M, O1, O3
thẳng hàng => BO1 // NO3
= >
. Tương tự:

=>
=> AB//NP
Tương tự CD// PM => AEDP là hình bình hành
(với E = AB ( CD). Do (PAT ~ (PTM
=> PT2 = PA.PM tương tự PT2 = PD.PN
Vậy PA. PM = PD.PN =>

=>( EBC ~ ( EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800
=> ABCD nội tiếp.
2) Vẽ tam giác đều CMN
(BCN = (ACM => BN = AM
mà



vuông tại M.

.
5.
+ Biến đổi để được:
A = x + y + z
(1)
+ Chứng minh được: x + y + z
> 0 (2)
+ Thay (2) (3) vào (1) được A

Do đó: Min A =

+ Vậy Amin =








Đề 91



Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:


a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:

Bài 3: (2,0 điểm).
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T =



Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3
b1 ≤ b2 ≤ b3
Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
Áp dụng chứng minh rằng : với