Bất đẳng thức bunhiaskopki

Bất đẳng thức: Bunhiacopski


1/ Bđt Buniakovsky cho 2 số không âm
Cho 4 số thực . Ta luôn có bđt:
Dấu bằng xảy ra
2/ Bđt Buniakovsky cho n số không âm
Với 2n số thực , ta có:



Chứng minh:
Xét tam thức bậc hai:

Dễ dàng biến đổi



=> bđt đúng.

Dấu bằng xảy ra

4.Một dạng khác của bđt Buniakovsky (còn được gọi là bđt Schwartz):
Cho hai dãy số thực trong đó và Khi đó ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:



II. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT BUNIAKOVSKY
VD: (Kỹ thuật sử dụng điểm rơi)
Cho thỏa . Tìm GTNN của biểu thức:


Hướng giải:
Xét biểu thức . Ta tìm cách khử căn của biểu thức này.
Viết lại:

Dấu bằng xảy ra
Dự đoán dấu bằng khi S đạt GTNN xảy ra .
Thay vào (*)

Giải:
Áp dụng bđt Buniakovsky ta có:

Lại có:

hay
Dấu bằng xảy ra

VD: Cho là các số thực dương. Chứng minh: