Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRONG TOÁN HỌC THCS
----------------------------------------------------
I.ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN.

Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS.
Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:

(*)
Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được
(**)
với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau. Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng

Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có :


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
Chững minh rằng:

.
Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có:


Tương tự, ta có:


Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, chú ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
.


Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
.
(Bất đẳng thức Nasơbit)
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:


Bây giờ chúng ta cần chứng minh BĐT:

Nhưng BĐT này tương đương với


Đây là BĐT luôn đúng. Từ đó suy ra BDT cần phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c.
Bài toán 4. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:


( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa )
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng
= 1 ta có:


Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab + bc + ca
3. Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với giả thiết abc = 1 ta suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:


Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
a)
;
b)

Bài 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = 1. Chứng minh rằng:


Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng:


Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng :

.


II. TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI.
( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 5/2011)
Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau. Đôi khi, việc ta sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ.
Bài toán cơ sở. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(1)
Nhân 2 > 0 vào hai vế của BĐT (1) vào rồi chuyển vế, biến đổi tương đương ta được một BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau.
Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương:
thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
(2)
Chứng minh rằng:
(3)
thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:

(4)

d) thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =

Lời giải:
a) Ta có: (2)


( Do giả thiết a + b + c = abc)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
.
b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có:


Dấu “=” xảy ra khi và