Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa

Chứng minh các bất đẳng thức sau
1.Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì  <  b) nếu a > b thì  > 
c) 1 < < 2
d) 2 < < 3
2.Cho <  và b,d > 0, Chứng minh rằng <  < 
3.Chứng minh rằng ( a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc ( a2 + b2c2
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 ( (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k)  ≥  l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
m)  (  n) ( )2 (  o)  ≥ ( )2
p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4.Cho a ,b ( [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| ( |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì  ≥ 
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có  ≤  + 
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x –  + 1 > 0
6.Cho ba số a ,b ,c ( [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca ( 1
4.Cho 0 < a ( b ( c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) ( ()(a + c)
5.Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥ 
5.Cho a + b + c ( 0. Chứng minh rằng :  ≥ 0
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
 +  +  ( 
4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng :  ≥ 
a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng :  ≥ 
a) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :  ≥ 
6. ( a,b,c,d chứng minh rằng
a)  ≥ 
b) 1 <  < 2
7.Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) < 1
b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3
*d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e) (a + b + c)2 ( 9bc với a ( b ( c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ( abc
8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3
*9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(