BÀI TOÁN QUY VUÔNG ĐA GIÁC.doc

BÀI TOÁN QUY VUÔNG ĐA GIÁC

Người ta cho rằng, ngay từ thời cổ đại người Hy lạp đã biết dựng 1 hình vuông có diện tich bằng diện tích một đa giác lồi bất kì. Nhưng mãi thế kỉ đầu công nguyên mới thấy có văn bản chứng minh được điều đó, và Euiclide đã chứng minh coi như một định lí; “Định lí quy vuông đa giác”
Định lý đó phát biểu: Mọi đa giác lồi đều có thể dựng được thành 1 hình vuông có diện tich tương đương.
Bài toán này giúp cho người xưa có thể phân chia ruộng đất, dù hình thù đa giác thế nào ( kể cả tam giác) cũng có thể quy về hình vuông.. Về sau người ta CM cả đa giác lõm cũng quy về hình vuông được, nhưng phạm vi bài này ta chỉ giới hạn với đa giác lồi

Thực ra với kiến thức ngày nay, HS lớp 6 cũng có thể CM được định lí trên. Vì mọi đa giác n cạnh đều có thể chia nhỏ thành (n – 1) tam giác ( chỉ cần chứng minh mọi tam giác đều có thể quy về 1 hình vuông có diên tích tương đương.(1]

Để giúp các bạn HS suy nghĩ rèn luyên phương pháp dựng hình, tài liệu này sẽ điểm lại vài bài toán dựng hình liên quan, từ dễ đến khó.

( Bài 1:
Dựng 1 hình vuông có diện tích băng diện tích 1 hình chưỡ nhật có chiều dài a, chiều rộng là b.
( Giải (tóm tắt) :
Gọi diện tích H. chữ nhật ABCD là S1 ( S1 = a.b
diện tích H.. vuông A’B’C’D’ là S2 ( S2 = x 2
S1 = S2 ( b.b = x 2 (
( Cạnh hình vuông phải dựng có độ dài bằng trung bình nhân của 2 cạnh hình chữ nhật. ( ta có cách dưng như hình dưới đây:
Trên đường thẳng dưng 2 đoạn kế tiếp EF,FP
có độ dài = a và b.
Từ O là trung điểm của EP
Vẽ nửa đường tròn cắt đường MF ở M (MF ( EP)
Có MP = x
Người ta đã có định lí CM rằng

Dựng tiếp 2 cạnh MN, NQ
Ta có MNQF phải dựng

(Phần CM diện tích MNQF = ABCD dành cho các bạn )

( Bài 2:
Dựng 1 hình vuông có diện tích băng diện tích 1 hình tam giác có đáy a, chiều cao là h.

(Giải (tóm tắt) :

Để đi đến cách dựng theo bài toán, ta có thể tamj thời quy tam giác ABC vế hình chữ nhật MNB’C’ có diện tích tương đương tam giác A’B’C’ ( ( ABC = ( A’B’C’ ).
Hình chữ nhật MNB’C’ có chiều đai = a, rộng = h/2 ( S MNC’B’ = a. h/2 = S( A’B’C’
Tương tự Baif 1 ta dựng được hình vuông có diện tích tương đương diện tich tam giác




( Bài 3 :
Cho một đa giác lồi 7 cạnh, Hãy dưng 1 hình vuông có diện tích tương đương.

( Cách giải Bài này có thể áp dung nguyên lí của phần trên (1] để dưng, song như thế phải qua 6 hình tam giác trung gian. Nhân có bài của Thuận Hòa (Web thuanhoa) chỉ cấn 3 bước dưng ; Xin giới thiệu như sau:
Bước 1:       Vẽ tam giác có cùng diện tích với đa giác 5 cạnh. (Xem Hình 1). (
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC Vẽ đường thẳng qua D và song song với CE Hai đường thẳng nầy cắt nhau tại J
Hai tam giác ABC và AJC có diện tích bằng nhau  vì có cùng đáy AC và đường cao phát xuất từ đỉnh B và đỉnh J bằng nhau (khoảng cách giữa 2 đường song song).
Tương tự, diện tích của 2 tam giác CDE và CJE cũng bằng nhau.

(Diện tích đa giác ABCDEFG =  dt ABC + dt CDE + dt FGA + dt tứ giác ACEF =  dt AJC + dt CJE + dt FGA + dt ACEF =  dt ngũ giác AJEFG
(:  Diện tích đa giác ABCDEFG bằng diện tích của ngũ giác (5 cạnh) AJEFJ
Bước 2:    
Vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, cắt cạnh EF kéo dài tại M. Vẽ đường thẳng qua G và song song với AF, cắt cạnh EF kéo dài tại N.
Hai tam giác AJE và AME có diện tích bằng nhau vì có cùng cạnh đáy AE và đường cao phát xuất từ đỉnh J và đỉnh M bằng nhau.
Tương tự, diện tích của 2 tam giác AGF và ANF cũng bằng nhau.
( Diện tích đa giác AJEFG =  dt AJE + dt AEF + dt AFG =  dt AME + dt AEF + dt AFN =  dt tam giác AMN
(   Diện tích ngũ giác AJEFG  bằng diện tích của tam giác AMN (  Diện