Bài toán hay giải bằng 6 cách

BÀI TOÁN TÌM TÂM HÌNH TRÒN GẢI BẰNG 6 CÁCH

Đây là 1 trong số bài toán khá hay do báo “Toán tuổi thơ” đưa ra trong cuộc thi “Vui học toán” năm 2012. Hay, vì nó rất thực tế, HS và Phụ huynh đều có thể tham gia, có thể làm “thực nghiệm”. Lý thú, vì nó có thể giải bằng nhiều cách, tùy theo trình độ HS, từ lớp 5 – 6 đến lớp 8 – 9 và ngay cả người lớn dù đã quên hết lí thuyêt nhưng có kinh nghiệm từ cuộc sống đều có thể tìm ra một cách giải . Bổ ích, vì nó kích thích sáng tạo của người giải, làm cho toán học gắn với thực tế,, không cứng nhắc khô khan .
Bổ sung cho “Đáp án” của báo, Xin giới thiệu vài cách giải và bình luận sau:


Đề : Với 1 tờ giấy A4 và 1 bút chì 2B, làm thế nào để xác định tâm của 1 cái đĩa nhựa hình tròn (coi như đĩa là hình tròn phẳng ) ?

1/-Cách giải:

Cách thứ nhất:

- Lấy 1 đỉnh góc vuông (đỉnh A) của tờ A4 làm chuẩn, gập chéo góc tờ giấy sao cho đỉnh B trùng với A’ tại mép ngoài tờ A4. Miết tay cho nếp gấp chéo thành đường thẳng chia đôi góc A. (Đường chéo này gọi là đường phân giác của góc A).
Hình 1



Đặt đĩa tròn vào góc A sao cho 2 cạnh mép tờ A4 vừa sát mép đĩa ( gọi là tiếp xúc ngoài đường tròn ). Lấy bút đánh dấu hai điểm trên vành đĩa chiếu thẳng với đường chéo ( vết gâp tờ A4) ghi số 1 và 2; sau đó kẻ nối 1 với 2 bằng 1đường thẳng bút chì trong lòng đĩa, (Hình 2a)



- Tiếp tục để đĩa tròn tiếp xúc với 2 mép ngoài tờ A4 như trên, nhưng lần này xoay đĩa tròn khỏang ¼ vòng rồi làm tương tự như trên: đánh dấu điểm 3 và 4 trên vành đĩa. Dùng bút kẻ nối điểm 3 với 4 bằng đường bút chì trong lòng đĩa. (Hình 3)

- Kết luân: Đường nối 1-2 và đường nối 3-4 đề là đường kính của hình tròn. Vậy giao điểm của 2 đường này chính là tâm của đĩa hình tròn phải tìm

Cách thứ hai và ba (gấp 1 đường song song và 2 đường song song)
Thay việc gấp đường phân giác bằng việc gấp 1 hoặc 2 đường song song ( gấp 1 đường thì phải xoay hình như cách 1). Cụ thể thao tác :

- Sau khi áp hình tròn tiếp xúc với 2 cạnh tờ A4, đánh dấu điểm X và Y trên tờ giấy. Lấy X và Y làm chuẩn gấp mép giây thành 1 – 2 đường XX’ và/hoặc YY’ song song với cạnh đối diện. (Hình 4)


- Áp trở lại hìh tròn cho tiếp xúc như ban đầu, đánh dấu các điểm 1 -2 ; 3 – 4
- Giao điểm của 2 đường này chính là tâm của đĩa hình tròn phải tìm


Cách thứ tư:

Thực ra là phối hợp cách thứ nhât (gấp 1 đường phân giác) với cách thứ hai (gấp 1 đường song song). Cụ thể:
- Tương tự cách 1, nhưng thay việc phải xoay hình tròn ta tăng 1 lần gấp tạo thêm đường gấp thứ hai X-X’ song song cạnh chiều dài tờ A4. Điểm X là điểm tiếp xúc của cạnh AB với hình tròn.
- giao điểm của 2 đường này chính là tâm của đĩa hình tròn phải tìm.
(Hình 5)


Cách thứ năm:

- Đặt hình tròn tiếp xúc với 1 cạnh dài A A` của tờ A4 tại điểm N ; Uốn gấp cạnh BB’ sao cho vừa đủ tiếp xúc với phía trên hình tròn (tại M). Vuốt tay nhẹ sao cho BB’ song song và trùng với YY’. Hình 6


Dùng bút nồi MN thành đường thẳng trong lòng đĩa tròn. Lăn trượt hình tròn đi một đoạn để tạo ra 2 điểm tiếp xúc khác là PQ. Nói PQ như trên
Giao điểm của 2 đường MN và PQ chính là tâm của đĩa hình tròn phải tìm

2/ Bàn luận

Những trường hợp khó xử: Đề ra không cho kích thước (đường kính hình tròn) nên các phương án trên đều hiểu ngầm là đường kính (d) của nó nhỏ hơn chiều ngang tờ A4.(Đúng ra, bài toán thi thì phải cho điều kiện ). Nếu không ta phải biện luận.
Nếu d > chiều ngang A4 và < chiều dài A4 thì vẫn áp dụng cách thứ 3 được.
Nếu d > chiều dài A4 thì chỉ dùng tờ A4 như một thước Ê-ke và phải đặt hình tròn xuống bàn. Cách tìm tâm như sau
*Cách thứ 6
Kẻ 1 đường thẳng trên bàn, cho hình tròn tiếp xúc đường thẳng