Bài toán Cách tiến cho HSG lớp 5

Bài toán “Cách tiến”
Luyện thi HSG toán lớp 5

* Nhớ lại kiến thức đã học

- Dãy số cách đều : Một số trong dãy (không kể số đầu tiên) bằng số liền kề trước nó cộng thêm một giá trị như nhau. Học lên người ta gọi là “cấp số cộng”. thí dụ:
Dãy số tự nhiên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6... ...n
Dãy số chẵn : 2; 4; 6; 8; 10; .. .... 2 x n
Dãy số lẻ : 1; 3; 5; 7; 9; 11... ...2 x (n – 1)
- Có một số dãy số không cách đều mà theo các quy luật khác. Thí dụ:
Dãy 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13... (tổng 2 số đứng trước= số thứ 3)
[*] Dãy ½; ¼; ⅛;.. ... (½ x ½ x ½ x ½ x... ½) nhân (n-1) lần. Nghĩa là mẫu số tăng theo số lần nhân 2). Sau này học lên gọi [*] là cấp số nhân với công sai nhỏ hơn 1
- Sau đây là một số bài toán ứng dụng dạng dãy số [*] thứ hai (dạng bài toán cách tiến) và minh họa

Bài toán

Cho tam giác ABC, từ đỉnh B kẻ đường thẳng xuống điểm giữa (trung điểm M) cạnh đối diện AC; Qua trung điểm M kẻ tiếp đường thẳng xuống trung điểm N của cạnh BC; Tiếp tục tương tự như trên có các điểm P; Q; R, S; T; U ( hình 1)



a/- Hãy lập dãy số biểu diễn lần lượt tỷ lệ diện tích của các ∆ABM; ∆BMN; ∆MNP; ∆PNQ; ∆PQR; ∆RQS; ∆RST; ∆TSU so với diện tích ∆ABC.
b/- So sánh chiều cao cùng hạ xuống AC của ∆ABC với chiều cao ∆TUC.

Bài giải
Vì AM = ½AC nên S∆ABM = ½ S∆ABC
Tương tự có S∆BMN = ½ S∆ABM = ¼ S∆ABC
S∆MNP = ½S∆BMN = ¼ S∆ABM = ⅛ S∆ABC

S∆PNQ = ½S∆MNP = ¼S∆BMN = ⅛S∆ABM = 1/16S∆ABC

Tiếp tục tính tương tự có :
S ∆PQR = 1/32S∆ABC; S∆RQS = 1/64S∆ABC;
S∆RST = 1/128S∆ABC; S∆TSU = 1/256S∆ABC

a/- Tỷ lệ diện tích của các ∆ABM; ∆BMN; ∆MNP; ∆PNQ; ∆PQR; ∆RQS; ∆RST; ∆TSU so với diện tích ∆ABC lần lượt là:

½; ¼; ⅛; 1/16; 1/32; 1/64; 1/128; 1/256 [**]
b/- Theo cách dựng tam giác như trên
S∆TSU = S∆TUC = 1/256 S∆ABC.
∆BTC có cạnh TC = 1/32 AC nên S∆BTC = 1/32 S∆ABC
∆UTC và ∆BTC có chung cạnh đáy TC , nếu lấy chiều cao ∆ABC = 1 thì
chiều cao ∆UTC là: 1/256 x 1/32 : ½ = 1/16 (so với chiều cao ∆ABC)
Ghi thêm;
* Có thể tính tỷ lệ trên bằng cách so chiều cao của các tam giác lần lượt
∆ABM; ∆MNP; ∆PQR; ∆RST và ∆TUC với chiều cao ∆ABC được các tỷ lệ tương ứng 1/1; ½; ¼; ⅛; 1/16.
* Suy nghĩ rộng để thấy nếu cứ tiếp tục chia nhỏ tam giác như trên thì các tam giác sẽ lấp đầy ∆ABC. Coi diện tich ∆ABC = 1 thì tổng dãy số [**] dần bằng 1

Sau này sẽ học về dãy số vô hạn ∑ = ½ + ¼ + ⅛ +..... = 1

*Có nhiều tài liệu minh họa dãy số trên bằng hình vuông và hình chữ nhật, nhưng cách minh họa này với chương trình tiểu học là đơn giản, dễ thực hiện hơn.

Bài toán thực hành

Bài 1:
- Cho ∆ vuông ABC, vuông goc ở A, kéo dài BA về phía A đoạn AD=AB; Từ D nối DC và kéo dài CE =CD; Tiếp tục từ E, nối EB và kéo dài BF=BE. Cũng nối và kéo tương tự như thế các điểm G, H, I (Hình 2)





a/- Tính tỷ lệ diện tích các tam giác ∆DBC, ∆DBE, ∆EFD, ∆EFG, ∆GFH, ∆GIH so với ∆ABC (coi S∆ABC=1)? Nhận