Bài tập chia hêt - Bồi dưỡng học sinh giỏi

Các phương pháp giải các bài toán chia hết.

Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết.
Phương pháp sử dụng tính chất chia hết.
Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư trong phép chia.
Phương pháp sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử.
Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng.
Phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp sử dụng đồng dư thức.
Phương pháp sử dụng nguyên lý Đ.
Phương pháp phản chứng.
Trong mỗi phương pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tập tương tự. Vẫn biết rằng những khái niệm về số học được rất nhiều tác giả đề cập đến ở nhiều khía cạnh khác nhau. Do đó không thể có sự sáng tạo hoàn toàn trong đề tài mà đề tài này mới chỉ dừng lại ở 1 mức độ nhất định. Với nội dung và cách trình bày trong đề tài này không tránh khỏi những hạn chế của bản thân, rất mong được các Thầy cô giáo và đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày càng được hoàn thiện hơn.

Nội dung
Phần I: Tóm tắt lý thuyết
I. Định nghĩa phép chia
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ( 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 ( r ( ( b(
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra ( b( số dư
r ( {0; 1; 2; …; ( b(}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: a(b hay b a
Vậy:
a ( b ( Có số nguyên q sao cho a = bq

II. Các tính chất
Với ( a ( 0 ( a ( a
Nếu a ( b và b ( c ( a ( c
Với ( a ( 0 ( 0 ( a
Nếu a, b > 0 và a ( b ; b ( a ( a = b
Nếu a ( b và c bất kỳ ( ac ( b
Nếu a ( b ( ((a) ( ((b)
Với ( a ( a ( ((1)
Nếu a ( b và c ( b ( a ( c ( b
Nếu a ( b và c(b ( a ( c ( b
Nếu a + b ( c và a ( c ( b ( c
Nếu a ( b và n > 0 ( an ( bn
Nếu ac ( b và (a, b) =1 ( c ( b
Nếu a ( b, c ( b và m, n bất kỳ am + cn ( b
Nếu a ( b và c ( d ( ac ( bd
Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III. Một số dấu hiệu chia hết
Gọi N =
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N ( 2 ( a0 ( 2 ( a0({0; 2; 4; 6; 8}
+ N ( 5 ( a0 ( 5 ( a0({0; 5}
+ N ( 4 (hoặc 25) ( 4 (hoặc 25)
+ N ( 8 (hoặc 125) ( 8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N ( 3 (hoặc 9) ( a0+a1+…+an ( 3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
+ N ( 11 ( [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] ( 11
+ N ( 101 ( - 101
+ N ( 7 (hoặc 13) ( + - + (11 (hoặc 13)
+ N ( 37 ( + ( 37
+ N ( 19 ( ( a0+2an-1+