Bài ngoại khóa đề thi học sinh giỏi toán 8 huyện Hạ Hòa năm 2013-2014

phòng GD - ĐT Hạ Hoà
ĐỀ

Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian : 120 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 14.04.2014



Câu 1: (3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2014 là số chính phương.

n2 + n - 1
b) Chứng minh rằng phân số là tối giản.
n2 + n + 1
Câu 2 : (5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 +4x2 - 29x +24.

b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014
Biết : a +b+c = 0 và ab+bc +ac = 0.
Câu 3: (3 điểm)
Giải phương trình:

Câu 4: (7 điểm)
Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB (M khác A; M khác B). Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đó suy ra
.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a2 + b2 +c2 < 2(ab + bc + ca)

Hết


(Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm)













HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2013- 2014

Nội dung
Điểm


Câu 1: (3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2014 là số chính phương.

Đặt n2 + 2014 = k2 với k là số tự nhiên khác 0
(k – n)(k + n) = 2014
Nếu k và n cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì : (k – n)(k + n) chia hết cho 4 mà 2014 không chia hết cho 4 ( 1)
Nếu k và n khác tính chẵn, lẻ thì : (k – n)(k + n) là số lẻ mà 2014 là số chẵn ( 2)
Từ (1) và ( 2) => không tìm được số tự nhiên n để n2 + 2014 là số chính phương.

n2 + n - 1
b) Chứng minh rằng phân số là tối giản.
n2 + n + 1
Đặt d là ước chung của n2 + n – 1và n2 + n + 1 với d là số tự nhiên khác 0

(n2 + n – 1) chia hết cho d
(n2 + n + 1) chia hết cho d
=>( n2 + n + 1) – ( n2 + n – 1) = 2 chia hết cho d
=> d chỉ có thể là 1 hoặc 2.
Nhưng n2 + n + 1= n( n+1) + 1 là số lẻ nên d = 1
Vậy phân số đã cho là tối giản.

Câu 2 : (5 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử : x3 + 4x2 - 29x +24.
= x3 - x2 +5x2 -5x -24x +24 = x2(x -1) + 5x(x - 1) - 24(x - 1) =
= (x - 1)(x2 +5x -24) = (x - 1)(x2 - 3x +8x - 24) = (x - 1
= (x -1)(x -3)(x + 8).

b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014
Biết : a +b+c =0 và ab+bc +ac =0.
Ta có : (a +b + c)2 = a2 +b2 + c2 +2(ab +ac +bc) = 0
a2 +b2 +c2 = 0 a =b = c = 0
Thay vào biểu thức ta được : M = (-1)14 + 043 +12014 = 2.

Câu 3 ( 3điểm)

Giải phương trình:
(1)

Phân tích: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y - 3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1)
ĐKXĐ