Bài 4. Sử dụng các hàm để tính toán

Trường THCS Liên Bảo
Đề thi HSG toán lớp 9



Câu 1. (5,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
.
Rút gọn biểu thức
.
Câu 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình:
.
Giải hệ phương trình sau:
.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hàm số
. Tìm các giá trị của
để đường thẳng
có phương trình
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt
thoả mãn:
.
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố
đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện


Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (ABChứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
Chứng minh :
.
Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương
và
thoả mãn
. Chứng minh rằng:

.
---------------Hết----------------







Đáp án và biểu điểm

Câu 1
Hướng dẫn giải
(5 điểm)

1.
(2 điểm)

Ta có






0.5




0.5




0.5



.
KL:
0.5



2
(3 điểm)
Điều kiện:

0.5


Đặt
.
0.5


Tính được

0.5




0.5




0.5


 =

KL:
0.5



Câu 2

(4 điểm)

1
(2 điểm)
ĐK:
. Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành:

0.5


Chia cả hai vế của phương trình cho
, ta được

(1)

0.5


Đặt

Thay vào (1) ta được

hoặc
(t/m)
0.5


+ với
ta có
(t/m).
+ với
ta có
(vô nghiệm).
KL:
0.5



2
(2 điểm)


+ Với
Hpt trở thành:
(vô nghiệm)
0.5


+ Với
.Hệ trở thành
(1)
+ Đặt
thay vào hpt(1) ta được

0.5


+ Giải được:

0.5


+ Với

.
Giải được nghiệm của hệ:

+ KL:
0.5



Câu 3

(4 điểm)

1
(2 điểm)
Xét pt hoành độ giao điểm:



(1)
Đường thẳng
cắt đths đã cho tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt(1) có hai nghiệm phân biệt.
0.5


+ Điều kiện:



0.5


+ Khi đó

+ Theo định lí Viet
. Ta có

+

0.5


+ Tìm được

KL:
0.5



2
(2 điểm)
+ Từ giả thiết suy ra:
. Không giảm tính tổng quát giả sử
. Suy ra

Do đó

0.5


+ Với
suy ra

Do đó

0.5


+ Với
từ (1) suy ra

+ Với
từ (1) suy ra
( do a>b)
0,5


+ Với
từ giả thiết suy ra
( do b>c)
Thay
vào (*) được
.
Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn:
và các hoán vị của nó.
0.5



Câu 4

(6 điểm)

1
(2 điểm)





+ Tứ giác AMHN nội tiếp nên

0.5


+ Lại có
(vì cùng phụ với góc
)
0.5


+ Suy ra
, mà
nên

0.5


KL:
0.5



2
(2 điểm)
+ Có
vì cùng bằng hai lần
.
0.5


+ Tam giác

0.5


+ Có