Bài 13. Công cơ học

MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN TỚI TÍNH CÔNG CỦA NHỮNG LỰC CÓ ĐỘ LỚN BIẾN ĐỔI
A – LÝ THUYẾT
I- Công của lực không đổi:
Định nghĩa: A=F.s
F: Lực thực hiện công
s: quãng đường di chuyển của vật.

F
s
0
A=F.s
F
s
Công của lực không đổi được biểu diễn bằng diện tích hình chữ nhật một cạnh là F, cạnh kia là s trên đồ thị F, s.


II. Công của lực có độ lớn thay đổi:
Phương pháp: Chia quãng đường s thành những quãng đường s rất bé. Trên mỗi quãng đường đó lực tác dụng coi là không đổi và công được tính bằng tổng công trên những quãng rất bé đó.
F
s
0
s
F0
A1
A2
s1
A  A1+A2
F1
F
F
s
0
s
A1
A2
s2
A  A1+A2+A3+A4
A3
A4
s1
s3
A  Tổng các hình chữ nhật nhỏ
Vậy nếu chia quãng đường s thành những quãng đường s vô cùng bé thì công A của lực F đúng bằng diện tích hình thang cong 0FMs
F
s
0
s
F
A
M
Vậy nếu chia quãng đường s thành những quãng đường s vô cùng bé thì công của lực F được tính như thế nào?
Trường hợp lực F là một hàm bậc nhất của quãng đường s:
F
s
0
s
F
A
M
Đồ thị F,s là đường thẳng
Công của lực F trong trường hợp này được biểu diễn bởi hình thang 0FMs
Nếu lực là một hàm khác hàm bậc nhất của quãng đường : Trường hợp này nói chung đồ thị F,s là đường cong, công được tính bởi diện tích hình thang cong, vượt ra ngoài chương trình THCS, ta không xét loại bài toán này.
B - CÁC BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1: Một người kéo một thùng nước khối lượng 5 kg từ một giếng sâu 8m lên cao. Cho rằng thùng chuyển động thẳng đều.
Tính công của lực kéo F và công của trọng lực.
Biểu diễn công lực kéo trên đồ thị F, s ?
Bài giải:
Thùng chuyển động thẳng đều nên lực kéo bằng trọng lượng P của thùng.
Công lực kéo:
AK=FK.s = mgs = 5.10.8 = 400 ( J )
Trọng lực thực hiện một công cản:
AP = -mgs = -400 ( J )
F(N)
s(m)
0
2) Biểu diễn trên đồ thị:
FK=mg = 50 N
s = 8m
50
8
A
Bài số 2:
Một người kéo một vật nặng 50kg. Tính công người đó thực hiện khi:
Kéo vật trên mặt sàn nằm ngang một quãng đường dài 10m.
Kéo vật lên một dốc nghiêng dài 10m, cao 2 m so với phương ngang.
Biết rằng trong cả hai trường hợp, lực ma sát đều bằng 100N, vật chuyển động thẳng đều theo phương lực kéo.
Lời giải:
Vật chuyển động trên sàn nằm ngang: Lực kéo cân bằng với lực ma sát FK=Fms=100 N
A=FK. s = 100.10 = 1000 ( J ).
Vật chuyển động lên mặt phẳng nghiêng:
Một phần lực kéo dùng để thắng lực ma sát giúp vật chuyển động thẳng đều trên mặt ngang. Công của phần lực này là:
A1=F. s = Fms. s = 100.10 = 1000 ( J )


Một phần công của lực này dùng để thắng trọng lực P, nâng vật lên cao 2 m.
Công của phần lực này là:
A2=P.h = m.g.h = 50.10.2 = 1000 ( J ).
 Tổng công của lực F: A = A1+A2= 2000 ( J ).
Bài số 3: Thực nghiệm cho thấy độ giãn của lò xo tỉ lệ với trọng lượng của vật treo vào lò xo.
Khi treo vật có trọng lượng P1 =10N, lò xo giãn một đoạn 2cm, hỏi nếu kéo lò xo một lực F=25N thì lò xo giãn một đoạn x bằng bao nhiêu?
Tính công của lực F làm lò xo giãn ra (hoặc nén vào) một đoạn x.
Tính công của lực tác dụng làm lò xo từ trạng thái bị nén một đoạn x1 =2cm đến x2 =5cm.
Lời giải:
1.
Gọi k là hệ số tỉ lệ, ta có P1 =k.x1 
k = P1/x1 = 10/0,02 = 500 (N/m).
Khi kéo lò xo lực kéo F:
F = k.x  x=F/k=25/500=0,05 (m) = 5 cm.


2.
Lực F = k.x  lực tỉ lệ với độ giãn x theo hàm bậc nhất. Đồ thị F, x là đường thẳng.
Khi x = 0 thì F = 0 (không có lực đàn hồi xuất hiện).
Khi lò xo giãn một đoạn x thì lực đàn hồi F = k.x



F (N)
x (m)
0
k.x
x
M
Công của lực đàn hồi trong trường hợp này bằng diện tích tam giác 0Mx:

3.
Cách 1:
Công lực đàn hồi làm lò xo nén một đoạn x1=2 cm là
A1 = k.x12/2 = 500. 0,022/2 = 0,1 ( J ).
Công lực đàn hồi làm lò xo nén một đoạn x2=5 cm là
A2 = k.x22/2 = 500. 0,052/2 = 0,625 ( J ).
 Công của lực đàn hồi làm lò xo bị nén từ 2 cm đến 5 cm là A = A2- A1=0,525 ( J ).
Cách 2: Sử dụng đồ thị F, x:
Lực đàn hồi khi lò xo bị nén 2 cm:
F1=kx1= 500. 0,02 = 10 (N).
Lực đàn hồi khi lò xo bị nén 5 cm:
F2=kx2= 500. 0,05 = 25 (N).

Công: A = ( 10 + 25 ). 3.10-2: 2 = 0,525 ( J )
25
5
10
20
2
4
Bài số 4: Một sợi dây xích đồng chất, dài l=2m có khối lượng m=4kg nằm trên sàn nhà. Tính công thực hiện để kéo dây lên trên cho đến khi đầu còn lại vừa rời khỏi sàn nhà.
Lời giải:
Lực cần thiết để kéo xích đi lên khỏi sàn một đoạn h bằng trọng lượng phần xích dài h đó:

Nhận xét: F tỉ lệ với h theo hàm bậc nhất  Đồ thị F, h là đường thẳng.
h=0  F=0
h = l  F = P =mg = 40 N.




Công: A = 40 ( J )

F(N)

40



0
2 x (m)
Bài số 5: Một thanh đồng chất, tiết diện đều có trọng lượng P=100N, dài L=1m. Ban đầu thanh đặt tại ranh giới của hai nửa mặt bàn làm bằng các chất liệu khác nhau (hình vẽ). Tính công cần thực hiện để kéo thanh sang nửa mặt bàn thứ hai. Cho biết lực ma sát tỉ lệ với trọng lượng của thanh, hệ số tỉ lệ tương ứng với hai nửa mặt bàn là k1 và k2 (k1k2). Xét trong 3 trường hợp:
k1 =0; k2 =0,2
k2=0; k1=0,1
k1 = 0,1; k2 = 0,2
Lời giải:

Fms2
Fms1
Fk=Fms1 +Fms2
Trọng lượng của phần thanh có chiều dài x và L-x lần lượt là

F tỉ lệ với x theo hàm bậc nhất  đồ thị F,x là đường thẳng
Trường hợp k1=0; k2=0,2:
Từ (*)  khi x = 0 thì F = 20 N.
Khi x=L thì F = 0
Công: A = 0,5.1.20 = 10 ( J )
Trường hợp k1=0,1; k2=0:
Từ (*)  khi x = 0 thì F = 0 N.
Khi x=L thì F = 10N
Công: A = 0,5.1.10 = 5 ( J )
Trường hợp k1=0,1; k2=0,2:
Từ (*)  khi x = 0 thì F = 20 N.
Khi x=L thì F = 10 N
Công: A = (10+20).1.0,5 = 15 ( J )
Bài số 6: Một chiếc đinh ngập vào một tấm ván dày l=4cm, một phần đinh là l ló ra ngoài tấm ván như hình bên. Ban đầu để rút đinh ra ta phải dùng một lực F0 =2000N. Cho rằng lực rút đinh tỉ lệ với chiều dài phần đinh ngập trong gỗ, hãy tính công để rút đinh ra khỏi tấm ván.
Lời giải:
Để rút đinh được chiều dài l đầu tiên, ta phải dùng lực F=2.000N. Công cần thiết trong quãng đường này là: A1=F.l = 2000.0,04=80 ( J ).

Để rút đinh quãng đường l còn lại:
Giả sử đầu đinh ra khỏi tấm ván một đoạn là x thì khi này để rút tiếp cần tốn một lực:



Như vậy lực tác dụng trong đoạn này tỉ lệ với quãng đường x theo hàm bậc nhất, đồ thị F, x là đường thẳng.
Khi x = 0  F = F0 = 2000 N.
Khi x = l  F = 0
Công cần thiết:
A2= 40 J.
Tổng công:
A = A1 + A2 = 120 J

Bài số 7: Một sợi dây xích đồng chất, dài l=2m có khối lượng m=5kg nằm trên sàn. Tính công cần thực hiện để kéo dây lên bàn cao h=1m qua một ròng rọc ở mép bàn. Bỏ qua ma sát của ròng rọc và bàn.
Lược giải:
Lực nâng 1 đầu dây từ sàn lên tới mép bàn: tăng dần từ 0 đến mg/2 = 25N
Lực kéo dây kể từ lúc đó cho tới khi đầu dưới bắt đầu rời khỏi sàn: không đổi bằng 25N.
Lực kéo dây kể từ lúc đầu dưới rời khỏi sàn cho tới khi đầu dưới lên trên bàn: giảm dần từ 25N đến 0




Tổng công: A = (1+3).25/2 = 50 J.
Bài số 8: Một khối gỗ hình lập phương, cạnh a=20cm được thả nổi trong hồ nước. Cho trọng lượng riêng của gỗ d=8000N/m3 ; trọng lượng riêng của nước là d1= 10.000N/m3, chiều sâu hồ nước là 1m.
Tìm chiều cao phần gỗ chìm trong nước.
Tính công để nhấc khối gỗ ra khỏi nước.
Tính công cần thực hiện để nhấn chìm hoàn toàn khối gỗ.
Tính công để đưa khối gỗ từ vị trí cân bằng trên mặt nước xuống tới đáy hồ.
Lời giải:
1) Gọi l là chiều cao phần gỗ chìm trong nước.
a2.l.d1=a3.d  l =ad/d1=20.8000/10000
l=16cm.
2)
Tại vị trí cân bằng của khúc gỗ trên mặt nước: lực đẩy acximet cân bằng với trọng lượng khúc gỗ: a2.l.d1=a3.d
Khi nhấc khúc gỗ lên một đoạn x thì lực kéo lúc này là F=P-FA= a3.d - a2.(l-x).d1 = a2.d1.x
Như vậy lực nâng của ta tỉ lệ với độ dời x của khúc gỗ khỏi mặt nước.
x=0  F=0.
x=l  F = 0,22.10000.0,16= 64 N.
 Công: A = 5,12 ( J ).

3) Tương tự ý 2): lực để nhấn chìm khối gỗ tỉ lệ với độ dời x của khúc gỗ so với vị trí cân bằng:
F=FA-P = a2(l+x)d1-a3.d = a2d1.x
F tăng dần từ 0 tới 16N
Công: A = 0,32 J.


4) Công trong trường hợp này bằng công thực hiện trong ý 3) cộng với công di chuyển khúc gỗ xuống tới đáy.
Lực tác dụng kể từ khi khúc gỗ chìm hoàn toàn trong nước tới khi tới đáy không đổi và bằng:
F = FA-P = a3(d1-d) = 16 N
Công giai đoạn này: A’=F.s = 16.0,8=12,8 J
Tổng công = 0,32 + 12,8 = 13,12 J


Bài số 9: Một khối gỗ lập phương có cạnh a=15cm, trọng lượng riêng d=8.000N/m3 được thả vào chậu đựng chất lỏng có trọng lượng riêng d1=10.000N/m3.
Tìm chiều cao khối gỗ chìm trong chất lỏng.
Đổ nhẹ vào chậu một chất lỏng có khối lượng riêng d2=6.000N/m3 sao cho chúng không trộn lẫn và cả khối gỗ nằm chìm hoàn toàn trong hai chất lỏng. Tìm phần gỗ ngập trong chất lỏng d1.
Tính công để nhấn chìm khối gỗ hoàn toàn vào chất lỏng d1.
Lời giải:
1) l =ad/d1=15.8000/10000
l=12cm.
2) Gọi x là phần chiều cao khối gỗ chìm trong chất lỏng d1  phần chìm trong chất lỏng d2 là a-x.
Điều kiện cân bằng của khối gỗ: P=FA1+FA2.




a3.d = a2.x.d1+a2.(a-x).d2 = a2.x.d1 + a3d2 - a2.x.d2
x= a(d-d2)/(d1-d2) = 7,5cm.
3) Khi nhấn chìm khối gỗ vào chất lỏng d1 thêm một đoạn là y, thì lực cần tác dụng vào khúc gỗ lúc này là
F=FA1+FA2 - P
F=a2(x+y)d1 + a2(a-x-y)d2 – a3d.
Kết hợp với a3.d = a2.x.d1+a2.(a-x).d2 suy ra
F=a2(d1-d2)y  F tỉ lệ với quãng đường di chuyển y của khúc gỗ.




y=0 thì F = 0.
y = 7,5 cm thì F = 6,75 N
Công A ≈ 0,25 J

Bài 10: Một xi lanh có tiết diện S=1dm2 được giữ thẳng đứng, đầu dưới nhúng trong nước. Bên trong có một pitong rất nhẹ, lúc đầu ở ngang mặt nước. Kéo pitong từ từ lên cao.
Chứng minh rằng bằng cách như vậy ta chỉ có thể hút được một cột nước có chiều cao tối đa H nào đó. Tính H.
Tính công thực hiện khi kéo được cột nước cao h. Xét hai trường hợp: hH.
Bỏ qua ma sát, cho trọng lượng riêng của nước là d=10.000N/m3; áp suất khí quyển
p0 =105N/m2. Xét h=5m và h=15m.

Lời giải:
1) Do áp suất tác dụng lên mặt thoáng của nước nên khi kéo pittong đi lên nước sẽ dâng lên trong xilanh.



Gọi A là một điểm trên mặt thoáng của nước, B là một điểm nằm trong xilanh cao ngang với A. Cột nước sẽ không dâng lên nữa khi áp suất tại B bằng áp suất tại A.

Áp suất tại A là áp suất khí quyển. PA=105N/m2.
Áp suất tại B do trọng lượng cột nước cao H gây ra. PB=dH.
Ta có dH=PA 
H=PA/d = 105/104
H=10(m).
2) a) Trường hợp h< H:
Khi cột nước dâng lên một đoạn x so với mặt thoáng, lực tác dụng lên pitong khi đó bằng trọng lượng cột nước:
F = P = S.x.d  F tỉ lệ với quãng đường dịch chuyển x của pitong.
x = 0  F =0.
x=h  F=shd.
Công: A = sdh2/2
Với h=5m thì A = 1250 J.
b) Với h> H:
Giai đoạn xH: lực kéo tăng dần từ 0 đến sdH. Công thực hiện trong giai đoạn này là
A1=sdH2/2 = 5000 J.
Giai đoạn x>H: trong xilanh xuất hiện cột chân không (áp suất bằng 0). Khi này lực kéo cân bằng với lực do áp suất khí quyển nén từ trên xuống:
F=P.S = 105.0,01 = 1000 N.
Công trong giai đoạn này là:
A2=F.(h-H)


Với h = 15m thì A2=1000.5 = 5000 J.
 Công tổng cộng: A = 10.000 J
Bài số 11
Một thanh đồng chất trọng lượng riêng d=8000N/m3 có tiết diện đều, chiều dài L=30cm được giữ thẳng đứng trong nước. Đầu trên của thanh dưới mặt nước một đoạn h. Biết trọng lượng riêng của nước dn=10.000N/m3. Thả tay ra cho thanh chuyển động. Coi như thanh chỉ chuyển động theo phương thẳng đứng và bỏ qua ma sát giữa thanh và nước.

Tìm h để đầu dưới của thanh vừa nhô lên khỏi mặt nước?
Cho h=20cm. Xác định chiều cao đầu trên của thanh nhô lên khỏi mặt nước sau khi thả tay.
Bỏ qua sự thay đổi mực nước khi thanh chuyển động.


Lược giải:
Thanh di chuyển một quãng đường bằng h+L. Công của lực đẩy Acximet chính là công nâng thanh lên độ cao h+L.
Gọi S là tiết diện của thanh.
Công của lực đẩy Acximet:
A=A1+A2= SLdnh + SLdnL/2
Công nâng thanh lên độ cao h+L:
A’ = SLd(h+L)



A=A’  SLdnh + SLdnL/2= SLd(h+L)
Rút h từ biểu thức trên ta được:


Thay số ta được h= 45cm

2) Gọi x là phần thanh nhô lên khỏi mặt nước  thanh di chuyển một đoạn đường là h+x.
Công của lực đẩy Acximet giúp thanh di chuyển đoạn đường h: A1=SLdnh.
Công lực đẩy Acximet giúp thanh di chuyển đoạn x tiếp theo:

Công nâng thanh lên đoạn h+x: A’=SLd(h+x).
A1+A2=A’  Rút x