5 bài toán từ 1 HĐT mũ 3

5 bài toán
Từ một hằng đẳng thức

Trong chương trình THCS, chúng ta đã quen với các Hằng đẳng thức bậc 2 (mũ 2 ), Với Các Hằng đẳng thức bậc 3 ( a3 ± b3..) ít găp hơn. Từ một số bài toán liên quan HĐT mũ 3 phát triển lên, NST xin giới thiệu 5 bài toán của Phạm Quang Toán sau đây:


( Ta đã biết đến hằng đẳng thức

(1)


Ta cũng có thể viết lại hằng đẳng thức này như sau

(2)


Hiển nhiên dễ thấy 2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2−(a2+b2+c2) 
nên ta sẽ đề xuất mở rộng đẻ gặp các bài tương tự các bạn có thể ứng dụng:

( Bài toán 1. Cho  







Tính A=xyz.
( Lời giải. Từ giả thiết
x+y+z=6 <=> (x+y+z) 2 = 36 <=> x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 36 <=>xy+yz+zx=5
Áp dụng (1) thì
x3+y3+z3−3abc = (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=626−5)=126
<=>3A = 90−126 <=> A=−12

(Bài toán 2. 
Cho x,y,z là các số nguyên sao cho
(x−y) 2+(y−z) 2+(z−x) 2 = xyz
Chứng minh rằng x3+y3+z3 chia hết cho x+y+z+6.
(Lời giải. Áp dụng (2) thì
x3+y3+z3=3xyz+12(x+y+z)[(x−y) 2+(y−z)2+(z−x) 2]
=3xyz+12(x+y+z)xyz=xyz2(6+x+y+z)
Gỉa sử x,y,z đều lẻ, khi đó (x−y) 2+(y−z) 2+(z−x) 2chẵn, nên xyz chẵn, mâu thuẫn. Vậy x,y,z phải có ít nhất một số chẵn, tức xyz /2 є Z. Như vậy ta đã có đpcm.

(Bài toán 3.  Tính 
+


(Lời giải. 
Đặt a =
, b=
Khi đó a3+b3 = 90 và ab =
=7.
Ta lấy một số c =− 6  thì
a3+b3+c3−3abc = 90−216+216 = 0
hay
12(a+b+c)[(a−b)2+(b−c) 2+(c−a) 2]=0
Hiển nhiên  (a−b) 2+(b−c) 2+(c−a) 2>0 nên a+b+c=0 ==> a +b =−c = 6.

(Bài toán 4. Tìm các cặp số nguyên x,y sao cho

(HD giải. Viết phương trình lại thành

<=> 3xy+x 3+y 3=6021 ==> x 3+y 3−1+3xy=6020
==> (x+y−1)(x 2+y 2+1−xy+x+y)=6020=2 2⋅5⋅7⋅43 (*)
Đặt a=x+y, b=xy thì
pt (*) a−1)(a 2+a+1−3b) = 22⋅5⋅7⋅43
Đến đây thì ta xét trường hợp để tìm a,b rồi tìm x,y.
Quay lại với hằng đẳng thức ban đầu, ta có thể rút ra hệ quả sau:

a3+b3+c3 = 3abc < ==> a=b=c
a+b+c=0

(Bài toán 5. Phân tích đa thức thành nhân tử (a−b) 3 +(b−c) 3 +(c−a) 3.
(Lời giải. Ta thấy (a−b)+(b−c)+(c−a) = 0. Do đó

(a−b) 3 +(b−c) 3 +(c−a) 3 =3(a−b)(b−c)(c−a)
Ta có thể nới rộng ra từ số mũ 3 thành số mũ 5.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHH ST & CHỉNH LÍ NGUồN : TOÁN TUOITHO