5 Bài toán số dư luyện HSG lớp 5

Bài toán số dư luyện HSG

Giới thiệu: Các bài toán số học có khi rất đơn giản , song cũng chỉ từ lí thuyết số học có thể gặp khá nhiều bài hóc và lí thú. Thi HSG ngay từ lớp 3 -4-5 ( tiểu học) đều có thể gặp. Thậm chí cả các kì thi Olympic toán quốc tế như năm 2012 cũng gặp ( mà Thí sinh Việt Nam không ai giải được).
Tài liệu này sưu tầm một số bài toán xung quanh phép chia và số dư (tương đương trình độ HS tiểu học) để các bạn tham khảo. Mỗi đề đều có bàn luận, mở rông.

Bài 1a - Tìm số nhỏ nhất
Tim số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số (Nx) sao cho khi viết ra phải bao gồm tất cả các chữ số có nghĩa là các số: 0, 1, 2, 3, ... 9 với các điều kiện sau:

a./ N2 chia hết cho 2
b/ N9 Chia hết cho 9
c/ N5 Chia hết cho 5
Giải Bài 1
* Nhận xét:
-Tổng các chữ số M= 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 ( chia hết cho 3 và 9)
- Chữ số 0 muốn có nghĩa thì không thể đứng đầu ( từ tráí sang phải)

a./ Muốn chia hết cho 2 thì N2 phải tận cùng là một số chẵn; Vậy số nhỏ nhất
N2 = 1 023 456 798
b./ Có M chia hết cho 9. Vậy số nhỏ nhất
N9 = 1 023 456 789
c./ Muốn chia hết cho 5 thì N phải tận cùng là 0 hoặc 5.
- Nếu tận cùng là 5 thì số nhỏ nhất sẽ là 1023467895
- Nếu số đó tận cùng là 0 thì số nhỏ nhất sẽ là123457890.
So sánh hai số trên, suy ra số nhỏ nhất N5 = 1023467895

* Mở rộng :
Cùng dạng này, người ta có thể hỏi số nhỏ nhât chia hết cho 4, 6; 12; 20….
- Số chia hết cho 4 thì 2 số cuối cùng phải chia hết cho 4 => N4 = 1 023 457 896
- N2 chí hết cho 2, đồng thời chia hết cho 3 => N6 = N2 = 1 023 456 798
- N4 Đồng thời chia hết cho 3 => N12 = N4 = 1 023 457 896
- Muốn chia hết cho 20, số đó phải chia hết cho 10. Suy ra số đó phải là số nhỏ nhất tận cùng là 0. Mặt khác, chữ số hàng chục của số đó phải là một số chẵn.
Vậy tìm được số M20 = 1234567980.
Cùng dạng này, có thể gặp các đề hỏi số TN lớn nhât (Lx) chia hết cho 2; 3 ; 4, 5 ; 6; 9 ; 12; 20….Cung suy luận tương tự, chỉ khác sắp xếp ngược lại, số số đầu phải là 9 . Chẳng hạn (ta được các đáp số tí thú sau) :

- L2 =L3 = L5 = L9 = L10 = 9 876 543 210
- L4 = L6 = 9 876 543 012 ; L20 = 9 876 543 120 

Bài 1b - (Đây cũng là một dạng bài phát triển từ bài 1a)

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất (N36) chia hết cho 36 mà trong dạng viết thập phân của nó có chứa tất cả các chữ số từ 1 tới 9.
Bài giải
Một số đồng thời chia hết cho 4 và 9 thì sẽ chia hết cho 36 (vì 4 và 9 nguyên tố cùng nhau: (4, 9) = 1).
Ta thấy, tổng của tất cả các số từ 1 đến 9 = 1 + 2 + ... + 9 = 45 chia hết cho 9.
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 4. Mà ta cần tìm số nhỏ nhất chia hết cho 36, do đó số đó phải là số nhỏ nhất có đầy đủ các chữ số từ 1 đến 9 và hai số cuối cùng của nó phải là một số chia hết cho 4.
Vậy số phải tìm N36 = 123457896

Bài 2 – Rắc rối mà đơn giản
Một số nguyên P khi chia cho 1976 và 1977 đều dư 76. Hỏi số đó khi chia cho 39 dư bao nhiêu?
Giải Bài 2

Phân tích thấy : 1976 = 23 x 13 x 19 ; 1977 = 3 x 659 ; 39 = 3 x13
Do đó tich (1976 x 1977) = 23 x 3 x 13 x 19 x 659 (*)

Vì 1976 và 1977 là 2 số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau, do đó số thoả mãn điều kiện của bài toán phải có dạng:
P = (1976*1977)*k + 76 (k là số nguyên)
Nhưng theo (*) thì (1976 x 1977 ) chia hết cho 39 nên