4 cách giải bài toán hình vuông còn thiếu

Bài toánTô màu thiếu hình vuông

Bài toán đố thiếu hình vuông là một ảo ảnh (quang hình học) được sử dụng để giúp học sinh (tiểu học hoăc. Mẫu giáo lơn) làm quen và tranh luận về các hình vẽ trong khi nhập môn hình học

( 1./ Bài toán gốc[1
Từ một hình chữ nhật lớn đươc xác định bởi 65 ô vuông nhỏ, có một học sinh đã tô 4 mầu vào 4 hình (2 tam giác, 2 hình chữ L) và tính diện tích từng hình nhỏ (theo đơn vị độ dài 1 cạch ô vuông nhỏ) như sau:

- Tam giác xanh dương S (1) = ½(2 x5) = 5
- Tam giác đỏ tươi S (2) = ½( 3 x 8) = 12
- Hình chữ nhật gồm 2 hình chữ L vàng và luc
S (3) = 3 x5 = 15
- Tổng diện tích các hình đã tô màu là;
S (TG đã tô màu) (= S (1) + S (2) + S (3) = 32 (ô) ( Hình 1)

Nhưng nếu tính diện tích các hình đã tô màu theo công thức tính diện tích tam giác thì
S’ (TG đã tô màu) =1/2(13 x 5) = 32,5 (ô)
Vậy là cả hình chữ nhật lớn đã thiếu đi 1 ô vuông. Ô vuông đó mất đi do đâu ?

Lời giải
Cách thứ nhất : Chỉ cần dùng 1 thước kẻ chuẩn (thật thẳng) áp vào 2 điểm B và D ta sẽ thấy đoạn XB và DX không thẳng hàng (hình 2a và 2b )
Khoảng trống gữa đường kẻ chuẩn và đoạn nối DX với XB có diện tích bằng ½ ô vuông, không chú ý mắt thường không phát hiện được
Cách thứ hai: Dùng kéo cắt rời 4 hình đã tô màu (H3a) và ghép lại theo hình 3b ta sẽ thấy hình 3b lộ ra 1 ô vuông trống
Tại hình 3a : Đường DXB làm cho thiếu ½ ô vuông
Hình 3b : Đường nối D’X’B’ so với chuẩn thừa ra ½ ô vuông
Vậy từ 3a sang 3b mất 1 ô vuông là tại DXB và D’X’B’ không thẳng hàng




Cách thứ ba: dùng lượng giác
Gọi ( là góc nhọn của tam giác nhỏ (xanh}
( là góc nhọn của tam giác đỏ ta có
tan( = 2/5; tan ( = 3/8
Do đó đường nối 2 cạnh huyền của 2 tam giác Không phải là đường thẳng.


Cách thứ tư: dùng lí thuyết tam giác đồng dạng


Bốn hình (màu vàng, đỏ, xanh và xanh lá cây) có tổng diện tích là 32 đơn vị diện tích,
nhưng các tam giác cạnh đáy 13 và chiều cao 5 lại có
diện tích là 
 đơn vị diện tích.
Mặt khác tam giác màu xanh da trời có tỉ số hai cạnh là 5:2 (=2.500:1), trong khi tam giác màu đỏ có tỉ số 8:3 (≈2.667:1), và rõ ràng là hai tam giác này không đồng dạng với nhau. Vì thế khi kết hợp lại trong tam giác 13×5, cạnh huyền của tam giác này bị lệch đi, không thẳng.
Khi ghép hai hình với nhau.Lượng bị lệch đi được làm tròn bằng 1/28 đơn vị, và rất khó có thể nhìn thấy trên hình vẽ của câu đố này.
Chú ý tới điểm lưới nơi hai cạnh huyền đỏ và cạnh huyền màu xanh da trời gặp nhau, và so sánh nó với cùng điểm này trên hình của tam giác 13×5 kia; cạnh huyền của nó hơi nằm bên trên điểm lưới này. Khi ghép hai hình 13×5 này đè lên nhau, nhìn ở phía cạnh huyền ta sẽ thấy 1 hình bình hành rất dẹt tạo bởi các cạnh huyền của hai tam giác đỏ và xanh da trời với diện tích đúng bằng diện tích của hình vuông 1×1, bằng với diện tích bị "thiếu" từ hình 13×5 thứ hai. ( Hình 5 )
Tóm lại :
Chìa khóa để giải bài toán đố này là thực chất không một tam giác 13×5 nào được ghép từ các hình nhỏ có cùng tổng diện tích với tổng diện tích các hình ghép lại.
Tuy nhiên [2đây là bài toán lí thú có thể dùng cho HS tiểu học ( lớp 3 – 5) giải theo cách 1-cách 2; HS THCS giải theo cách 3- cách 4. Ngay cả lớp mẫu giáo cũng có thể cắt ghép hình như cách 2 ( bỏ các thuật ngữ toán học đi ) .
( [1Theo Martin Gardner, Paul Curry, một nhà ảo thuật nghiệp dư ở thành phố New York, nghĩ ra năm 1953. Tuy vậy, nguyên lý của nghịch lý phân chia hình đã được biết đến từ thập niên 1860.
Các kích thước nguyên