334 bài BĐT và ứng dụng

1) ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
b) x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz
c) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
- xy – yz - zx
=
.2 .( x
+ y
+ z
- xy – yz – zx)
=

đúng với mọi x;y;z

Vì (x-y)2
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x
+ y
+ z
- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z)

đúng với mọi x;y;z

Vậy x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
+3 – 2( x+ y +z )
= x
- 2x + 1 + y
-2y +1 + z
-2z +1
= (x-1)
+ (y-1)
+(z-1)

0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
2) chứng minh rằng :
a)
;b)


c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu

=

=

=

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu


=

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát


3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có
m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
Giải:



(luôn đúng)


Dấu bằng xảy ra khi






4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)


b)

c)

Giải:
a)





(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)






Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)










Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
5)
Chứng minh rằng:

Giải:








a2b2(a2-b2)(a6-b6)
0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
6) cho x.y =1 và x.y
Chứng minh



Giải:



vì :x
y nên x- y
0
x2+y2

( x-y)

x2+y2-
x+
y
0
x2+y2+2-
x+
y -2
0

x2+y2+(
)2-
x+
y -2xy
0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
)2
0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
7) 1)CM: P(x,y)=


2)CM:
(