24 đề thi HSG huyện Toán 8

ĐỀ SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
Tìm giá trị của x để A > 0?
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Cho
và
. Chứng minh rằng :
.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

ĐỀ SỐ 2
Câu 1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
;

b. Giải phương trình:

c. Cho
. Chứng minh rằng:

Câu 2. Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết (x( =
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME
AB, MF
AD.
a. Chứng minh:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 . Tính : a2011 + b2011
ĐỀ SỐ 3
Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =

Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .

ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (2đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử



Câu 2 (2đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:


phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên

Câu 3 (1đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
chia hết cho đa
thức


Câu 4 (3đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5 (2đ): Chứng minh rằng



ĐỀ SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
.
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho:
.
Chứng minh rằng:
.
Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 b)
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐỀ SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A =
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
.
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
Cho
.Chứng minh rằng
.
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
.

Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng
.
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

ĐỀ SỐ 8
Bài 1: Cho x =
; y =
. Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2: Giải phương trình: a)
(x là ẩn số)
b)
+
+
= 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3: Xác định các số a, b biết:
=
+

Bài 4: Chứng minh phương trình:2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.

Bài 5: Cho
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6.

ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a)
b)

Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ( AB và N (AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.

ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
a) Cho
. Tính

b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương:

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:


Bài 3: (2 điểm)
Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 +3x2 +1 = y4.

ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a) (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b) 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a) Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b) Cho a, b, c
0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x , y, z thoả mãn:
=
+
+

Bài 3:
a) Cho a, b > 0. CMR:
+



b) Cho a, b, c, d > 0. CMR:
+
+
+

0
Bài 4:
a) Tìm giá trị lớn nhất: E =
với x,y > 0
b) Tìm giá trị lớn nhất: M =
với x > 0
Bài 5: a) Tìm nghiệm
Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b) Tìm nghiệm
Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6: Cho
M là một điểm
miền trong của
. D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a) CMR: AB’A’B là hình bình hành. b) CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và

Rút gọn biểu thức:

Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Giải phương trình:


Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB.

Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác đị