168 bài toán chọn lọc

Bài 1 : Số có 1995 chữ số 7 khi chia cho 15 thì phần thập phân của thương là bao nhiêu?
Giải : Gọi số có 1995 chữ số 7 là A. Ta có:


Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Tổng các chữ số của A là 1995 x 7. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995 x 7 chia hết cho 3. Do đó A = 777...77777 chia hết cho 3.
1995 chữ số 7
Một số hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 cho số dư là 1 hoặc 2.
Chữ số tận cùng của A là 7 không chia hết cho 3, nhưng A chia hết cho 3 nên trong phép chia của A cho 3 thì số cuối cùng chia cho 3 phải là 27. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 3 là 9, mà 9 x 2 = 18, do đó số A/3 x 0,2 là số có phần thập phân là 8.
Vì vậy khi chia A = 777...77777 cho 15 sẽ được thương có phần thập phân là 8.
1995 chữ số 7
Nhận xét : Điều mấu chốt trong lời giải bài toán trên là việc biến đổi A/15 = A/3 x 0,2 Sau đó là chứng minh A chia hết cho 3 và tìm chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 3. Ta có thể mở rộng bài toán trên tới bài toán sau :
Bài 2 (1* ): Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số A cho 15 biết rằng số A gồm n chữ số a và A chia hết cho 3 ?
Nếu kí hiệu A = aaa...aaaa và giả thiết A chia hết cho 3 (tức là n x a chia hết cho 3), thì khi
n chữ số a
đó tương tự như cách giải bài toán 1 ta tìm được phần thập phân của thương khi chia A cho 15 như sau :
- Với a = 1 thì phần thập phân là 4 (A = 111...1111 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 1
- Với a = 2 thì phần thập phân là 8 (A = 222...2222 , với n chia hết cho 3).
n chữ số 2
- Với a = 3 thì phần thập phân là 2 (A = 333...3333 , với n tùy ý).
n chữ số 3
- Với a = 4 thì phần thập phân là 6 (A = 444...4444 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 4
- Với a = 5 thì phần thập phân là 0 (A = 555...5555 , với n chia hết cho 3).
n chữ số 5
- Với a = 6 thì phần thập phân là 4 (A = 666...6666 , với n tùy ý)
n chữ số 6

- Với a = 7 thì phần thập phân là 8 (A = 777...7777 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 7
- Với a = 8 thì phần thập phân là 2 (A = 888...8888 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 8
- Với a = 9 thì phần thập phân là 6 (A = 999...9999 , với n tùy ý).
n chữ số 9
Trong các bài toán 1 và 2 (1*) ở trên thì số chia đều là 15. Bây giờ ta xét tiếp một ví dụ mà số chia không phải là 15.
Bài 3. Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số 111...1111 cho 36 ?
2007 chữ số 1
Giải. Đặt A = 111...1111
2007 chữ số 1
Ta có:

Vì 0,25 có hai chữ số ở phần thập phân nên ta sẽ tìm hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9.
Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Tổng các chữ số của A là 2007 x 1 = 2007. Vì 2007 chia hết cho 9 nên A = 111....1111 chia hết cho 9.
2007 chữ số 1
Một số hoặc chia hết cho 9 hoặc chia cho 9 cho số dư là một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chữ số tận cùng của A là 1 không chia hết cho 9, nhưng A chia hết cho 9 nên trong phép chia của A cho 9, thì ở bước cuối (ta gọi là bước k) : số chia cho 9 phải là 81. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 9. Cũng trong phép chia của A cho 9, ở trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho 9