11 bai hinh hoc cuc hay lop 9

Bài 1 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và
.Vẽ 3 đường cao AD ,BE ,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H
1/Chúng tỏ : Tứ giác BFEC nội tiếp
2/Lấy M thuộc EF sao cho DM//EF .Chứng tỏ : tam giác BMH vuông
3/ EG cắt DM tại I .Chứng minh rằng :

4 / Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC để HI,DE,FG đồng quy tại 1 điểm
Bài giải
1/Tứ giác BFEC nội tiếp ,xác định tâm G của nó
Dễ thấy
nên tứ giác BFEC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC => tâm G là trung điểm của BC
2/ Tam giác BMH vuông
Do DM//AC nên
( 2 góc đồng vị ) .Do tứ giác BFEC nội tiếp nên
. Ta lại có

( 2 góc đối đỉnh ) tứ đó suy ra
=> Tứ giác BDFM nội tiếp ( 2 góc bằng nhau cùng nhìn cạnh BM ) .Ta lại có :

=> Tứ giác BFHD nội tiếp . Từ đó dẫn đến 5 điểm B,M,F,H,D cùng thuộc 1 đường tròn đường kính BH -> BM vuông góc với MH vậy tam giác BMH vuông tại M
3/

Trong tam giác vuông BEC có
nên tam giác BEC vuông cân có G là trung điểm của BC nên EG vuông góc với BC
.Xét trong tam giác BEI có DI và BG là 2 đường cao chúng cắt nhau tại H => D là trực tâm của tam giác BEI => DE_|_BI
DE_|_BI =>
( cùng phụ với góc DEI ) .Mặt khác ta có :
=> Tứ giác AEDB nội tiếp =>
=>

Xét trong 2 tam giác vuông ABE và IBG ta có :
=>

4/ Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC
Dựng BJ_|_ HI . Ta có :
nên tứ giác BFHJ nội tiếp=>

Ta có :
=> Tứ giác BJGI nội tiếp =>
Mà
=>
. Mâc khác ta có :
=> 3 điểm F,J,G thẳng hàng . Nếu HI ,DE ,FG đồng quy tại 1 điểm => 3 điểm E,J,G thẳng hàng =>
, dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp nên
từ đó suy ra
.Do BJ vuông góc với HJ tức là 6 điểm M,F,H,J,D,B cùng thuộc 1 đường tròn từ đó suy ra
. Dễ thấy tứ giác BFHD nội tiếp nên
. Từ đó xét
và
ta có :
,
=>
(g-g )=> HJ/HB=HE/HC mà
Cos BHJ =HJ/HB và cos EHC =HE/HC =>
. Dễ thấy
( 2 góc nội tiếp chắn cung BJ của đường tròn đường kính BH ) mà ta lại có GB =GF =>
Tam giác GBF cân =>
. Ta lại có :
( cùng phụ với góc ACF ) từ đó suy ra
=> tam giác ABC cân tại C ( đây là ĐK của bài toán )
Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB1/Chứng tỏ : Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O
2/ Trên cung nhỏ EC của đường tròn (O) lấy 1 điểm I sao cho IC>IE ,DI cắt CE tại N .Chứng minh : NI.ND=NE.NC
3/ EF cắt IC tại M .Chứng minh : MN_|_CH
4/ HM cắt (O) tại K , KN cắt (O) tại G ,MN cắt BC tại T. Chứng tỏ : 3 điểm H,T,G thẳng hàng

Bài giải












1/ Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O
Ta có :
nên tứ giác DHEC nội tiếp trong đường tròn đường kính HC => tâm O là trung điểm của HC
2/ NI.ND=NE.NC
Xét tam giác NIC và tam giác NED ta có :

( 2góc đối đỉnh ),
( 2góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
=>
(g-g ) =>

3/ MN vuông góc với CH
Ta có :
( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC ) mà
( cùng phụ với góc BCF ) mà ta lại có : :
nên tứ giác BFEC nội tiếp =>

mà
( 2 góc đối đỉnh ) từ đó
=> Tứ giác MENI nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong ) =>
mà
( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DE ) ta lại có :
( Tứ giác BFEC nội tiếp )=>
=> AB//MN ( 2 góc sole trong ) mà AB_|_CH=> MN_|_CH
4/ 3 điểm H,T,G thẳng hàng
Xét tam giác EMN và tam giác TCN ta có :
(cmt) ,
( 2 góc đối đỉnh )=>
(g