10 Bài toán dãy số và phân số hay

Giải 10 Bài toán dãy số và phân số
nâng cao lớp 5

Bài 1: 
Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
a/ Không làm phéo tinh, Đoán xem tổng trên là số lẻ hay chẵn ?
b/ Nếu liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng, Liệu có thể được kết quả
tổng = 0 hay không?
Bài giải: 
*a/ Đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). ( Vậy A là một số lẻ.
*b/ Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi:
(a + b) - (a - b) = 2 x b; (tức là giảm đi một số chẵn). Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ.
( Vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0.

Bài 2: 
Tí có một số bi không quá 80 viên, trong đó số bi đỏ gấp 5 lần số bi xanh. Nếu Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi đỏ gấp 4 lần số bi xanh. Hỏi lúc đầu Tí có mấy viên bi đỏ, mấy viên bi xanh ?
Bài giải:
 Bài này có nhiều cách giải khác nhau, xin nêu một cách giải như sau Ta thấy: Số bi xanh lúc đầu bằng 1/5 số bi đỏ. Sau khi Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi xanh lúc đó bằng 1/4 số bi đỏ. Do đó 3 viên bi ứng với số phần của số bi đỏ là:


Vậy số bi đỏ của Tí lúc đầu là:


Số bi xanh của Tí lúc đầu là : 60 : 5 = 12 (viên) Vậy lúc đầu Tí có 60 viên bi đỏ và 12 viên bi xanh. Vì 60 + 12 = 72 nên kết quả này thỏa mãn giả thiết về số bi của Tí không có quá 80 viên. ( ĐA 60 đỏ; 12 xanh
Bài 3:  Cho 7 phân số:


Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 số mà Thăng và Long đã chọn.
Bài giải:




Vậy ta sắp xếp được các phân số như sau :


Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là : 


Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là: 


Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là:


Bài 4: 
Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437...... Trong dãy trên có xuất hiện số 2015 hay không ?
Bài giải: Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có xuất hiện nhóm chữ 2015 thì ta có :
2 + 0 = 2 ; mà số có chữ số tiếp theo ở đây là 1 (vô lí). (Vậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2015.


Bài 5: 
Tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy 1/3 số đó chia cho 1/17 số đó thì có dư là 100.
Bài giải: Vì 17 x 3 = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm được chia ra thành 51 phần bằng nhau. Khi ấy 1/3 số đó là 51: 3 = 17 (phần); 1/17 số đó là 51: 17 = 3 (phần).  Vì 17: 3 = 5 (dư 2) nên 2 phần của số đó có giá trị là 100
( suy ra số đó là: 100: 2 x 51 = 2550. 

Bài 6: 

Cho phân số: 

; Hỏi:
a) Có thể xóa đi trong tử số và mẫu số những số nào mà giá trị của phân số vẫn không thay đổi không? b) Nếu ta thêm số 2010 vào mẫu số thì phải thêm số tự nhiên nào vào tử số để phân số không đổi?

Bài giải:
Tính ra:
.
a) Để giá trị của phân số không đổi thì ta phải xóa những số ở mẫu mà tổng của nó gấp 6 lần