,l'o['pl

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Tiết 1
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.
2.Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

với m.n = k.
3.Phương trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có thể giả sử 1 ( x ( y ( z (.....
4.Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư.
Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau.
(1)
Giải:
Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).
Nếu
và
là nghiệm của (1). Gọi
, suy ra

Ta có:
chẵn
chẵn, vô lý.
Vậy phương trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau.
(1)
Giải:
1)Nếu
thì
vô lý.
2)Nếu
thì từ
ta có
và
suy ra
. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có dư là 7 từ đó suy ra phương trình
không có nghiệm nguyên.
Giải:
Giả sử:
mà
nên
suy ra

nhưng
vô lý. Vậy

Phương trình đã cho có thể viết:
Từ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

Giải:
1)Nếu x = 2k thì
.
2)Nếu x = 2k + 1 thì
vì
và
.
Vậy
Do đó khi chia tổng
cho 16 có số dư không vượt quá 7, trong khi đó
. Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Tiết 2
Dạng 2: Phương pháp phân tích.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( với a, b, c ( Z ) (1)
Ta có: (1)



Phân tích
với m, n ( Z, sau đó lần lượt giải các hệ:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Giải:
Ta có:



Giả sử:
khi đó
và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau:




Giải các hệ trên ta được các nghiệm nguyên dương của phương trình là: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Giải:
Vì 105 là số lẻ nên
lẻ suy ra y chẵn mà
chẵn nên
lẻ ( x = 0.
Với x = 0 ta có phương trình ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nên

hoặc
Thử lại ta thấy x = 0, y = - 4 là nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Giải:
Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông :
. Ta có:


Từ (1) ta có:




do
Thay
vào (2) ta được:

vậy các cặp:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
với p là số nguyên tố.
Giải:
Ta có:

Mà
.Từ đó phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là:

Tiết 3
Dạng 3: Phương trình đối xứng.
Để tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng ta giả sử 1 ( x ( y ( z (..... rồi chặn trên một ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Giải:
Vì x, y ,z có vai trò như nhau nên ta giả sử 1 ( x ( y ( z . Từ (1) suy ra:


Với x = 1 ta có
.
Vậy (1) có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) = (