Xung quanh số Hoàn hảo

Xung quanh Số hoàn hảo, hoàn thiện

I.-Số hoàn hảo & số giàu có ? 1./ Khái niệm về số hoàn hảo:
Số như thế nào gọi là số hoàn hảo?
Nếu có một số tự nhiên bằng đúng tổng các ước số của nó (trừ ước là bản thân số ấy) thì số tự nhiên đó gọi là số hoàn hảo. 6 là số hoàn hảo nhỏ nhất; số 6 trừ bản thân nó ra còn có 3 ước số là 1, 2, 3 và : 6=1+2+3.
2./ Khái niệm về các số không hoàn hảo:
Ngoài số hoàn hảo ra còn có số không đầy đủ và số giàu có.
- Những số tự nhiên lớn hơn tổng các ước của nó (trừ ước là bản thân số ấy) thì nó là 1 số không đầy đủ ( không phải hoàn hảo ) .Ví dụ 8 ngoài bản thân nó có các ước là 1, 2, 4 và 8>1+2+4=7. Do đó 8 là 1 số không đầy đủ . - Nếu 1 số tự nhiên nhỏ hơn tổng các ước của nó (trừ ước là bản thân số ấy) thì số đó là 1 số giàu có .Ví dụ 12, ngoài bản thân nó còn có các ước là 1, 2, 3, 4, 6 mà 12 < 1+2+3+4+6=16. Do đó 12 là một số giàu có. Trường phái Pitago phát hiện ra 3 loại số trên, nghe nói có liên quan đến tín ngưỡng của họ. Họ cho rằng thượng đế dùng 6 ngày để sáng tạo ra thế giới, con số 6 là con số hoàn hảo nhất. Do đó họ coi các số có tính chất như số 6 là số hoàn hảo. Lại theo truyền thuyết toàn thể loài người do 8 vị thần linh tạo ra nhưng sáng tạo không được đầy đủ nên con số 8 gọi là "số không đầy đủ". Ba loại số: Số hoàn hảo, Số không đầy đủ và Số giàu có , trong đó quan trọng nhất là số hoàn hảo.
3./ Tính chẵn /lẻ của hoàn hảo
Số hoàn hảo có rất ít trong tự nhiên. Trong phạm vi 10.000 số chỉ có 4 số hoàn hảo là 6, 28, 496, 8128. Cho đến năm 1952 trải qua 2000 năm tìm kiếm người ta mới tìm được 12 con số hoàn hảo. Có điều thú vị là 12 con số hoàn hảo này đều là số chẵn.
Vậy có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không ?
Đây là 1 “Giả thuyết toán học” rất nổi tiếng, đến nay chưa được giải quyết. Năm 1968 có một nhà toán học tuyên bố : Nếu tồn tại số hoàn hảo lẻ thì nó không thể ít hơn 36 chữ số. Tuy nhiên, Ông cũng chưa chứng minh được (Xem ra dùng tay để tính thì không tìm được số đó!).
4./ Một số tính chất của số hoàn hảo Số hoàn hảo có một lịch sử rất lâu đời và nó còn có những tính chất kì diệu sau:
4.1/ Mỗi số hoàn hảo có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp[1
thí dụ : 6 = 1+2+3 28 = 1+2+3+4+5+6+7 496 = 1+2+3+...+30+31 8128 = 1+2+3+...+126+127;
Tuy nhiên, [1]đảo lại thì không đúng
Tổng các nghịch đảo của tất cả các ước số cuả số hoàn hảo đều bằng 2, ví dụ: 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496 = 2 Các phân số ở vế trái các đẳng thức trên đều là những đơn phân số; hay còn gọi là các phân số cổ Ai Cập tức các phân số có tử số bằng 1. Như vậy phân số cổ Ai Cập và số hoàn hảo Hy Lạp có mối quan hệ với nhau.
4.3 Người ta nhận thấy mọi số hoàn hảo (ngoại trừ số 6) đều là tổng của 2(n−1)/2 số lẻ lập phương:








Biểu diễn các số hoàn hảo dưới hệ nhị phân :
6=110 28=11 100 496=111 110 000 8128=1 111 111 000 000
II.- Đi tìm công thức cho số hoàn hảo
1/- Thời Euclid :
Euclid đã khám phá ra 4 số hoàn hảo nhỏ nhất dưới dạng: 2n−1(2n − 1