Xử lý số tín hiệu chương 5

Xử lý số tín hiệu

Chương 5: Biến đổi Z
Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):





Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)



1. Định nghĩa
2. Các tính chất cơ bản
Tính tuyến tính



Tính trễ



Tính chập
2. Các tính chất cơ bản
Ví dụ 1 Dùng và tính chất của biến đổi Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)

Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]

Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):


Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
Biến đổi Z:

Tổng hội tụ khi






3. Miền hội tụ
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
Biến đổi Z:




Kết quả:

3. Miền hội tụ
3. Miền hội tụ
Tổng quát:

Tín hiệu nhân quả dạng:

có biến đổi Z là:


Với ROC:
4. Tính nhân quả và ổn định
Tín hiệu phản nhân quả dạng:

cũng có biến đổi Z là:


Với ROC:
4. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – 1 )
x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n)
x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)
4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định ROC có chứa vòng tròn đơn vị

Các trường hợp:
4. Tính nhân quả và ổn định
5. Phổ tần số
Biến đổi Z của x(n):

Biến đổi DTFT của x(n):

Đặt (Tần số số)




Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.
5. Phổ tần số
Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):


X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
DTFT ngược:

5. Phổ tần số






Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
Mặt phẳng Z
5. Phổ tần số
Xét X(z):

X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1
Thay z = ejω,
5. Phổ tần số
6. Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
Đưa X(z) về dạng


Tùy theo ROC, suy ra x(n)
Ví dụ:

ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)

ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)

ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
6. Biến đổi Z ngược
A. Pp khai triển phân số từng phần:


Bậc của mẫu số D(z) bằng M
Trường hợp 1: Bậc của N(z) nhỏ hơn M:



Với

6. Biến đổi Z ngược
Ví dụ: Khai triển



=>

Với




6. Biến đổi Z ngược
Trường hợp 2: Khi bậc của N(z) bằng M:



Với

6. Biến đổi Z ngược
Trường hợp 3: Khi bậc của N(z) lớn hơn M:
Chia đa thức D(z) cho N(z):



Khai triển bằng phương pháp phân số từng phần






6. Biến đổi Z ngược
B. PP “Khử - phục hồi”:
Đặt

Khai triển phân số từng phần của W(z)
Ví dụ:

Đặt:



Mặt khác: