Xử lý số tín hiệu chương 3-BT

Bài tập Xử lý số tín hiệu

Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc
Bài 3.1
Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thống
y(n) = 3x(n) + 5
y(n) = x2(n-1) + x(2n)
y(n) = ex(n)
y(n) = nx(n – 3) + 3x(n)
y(n) = n + 3x(n)
Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự)
Kiểm tra tính tuyến tính:
Gọi y1(n), y2(n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x1(n), x2(n)
y1(n) = 3x1(n) + 5
y2(n) = 3x2(n) + 5
Khi đầu vào là x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) thì đầu ra là
y(n) = 3x(n) + 5
= 3(a1x1(n) + a2x2(n)) + 5
= a1.3x1(n) + a2. 3x2(n) + 5 (1)
- Tổ hợp của y1(n) và y2(n) là
a1.y1(n) + a2.y2(n) = a1[3x1(n) + 5] + a2[3x2(n) + 5]
= a1.3x1(n) + a2.3x2(n) + 5(a1 + a2) (2)
So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a1.y1(n) + a2.y2(n) nên hệ thống không có tính tuyến tính

Bài 3.1
Bài 3.1
Kiểm tra tính bất biến
Cho tín hiệu vào là xD(n) = x(n – D), gọi đầu ra tương ứng là yD(n):
yD(n) = 3xD(n) + 5 = 3x(n – D) + 5
Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là
y(n – D) = 3x(n – D) + 5
yD(n) = y(n – D)  hệ thống có tính bất biến
Bài 3.2
Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt I/O sau:
y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3)
Giải
Cho đầu vào x(n) = (n)  đầu ra y(n) = h(n)
Vậy: h(n) = 4(n) + (n – 1) + 4(n – 3)
hay: h = [4; 1; 0; 4]
Bài 3.3
Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n)
Giải
Cho x(n) = (n) => y(n) = h(n)
Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + (n)
Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0
h(0) = - 0.81h(-2) + (0) = 1
h(1) = - 0.81h(-1) + (1) = 0
h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81
h(3) = - 0.81h(1) = 0
…
Bài 3.3
Tóm lại
h(n) = 0 với n < 0
Với n ≥ 0 thì:
h(n) = 0 với n lẻ
h(n) = (-0.81)n/2 với n chẵn
Bài 3.4
Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung
h(n) = (-0.6)nu(n)
Giải
h(n) = [1 -0.6 (-0.6)2 (-0.6)3 … ]
Áp dụng công thức tích chập:
y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) + …
y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6)2x(n – 2) + …
= x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) +
(-0.6)2x(n – 3) + …]
Bài 3.4
Mà y(n – 1) = h(0)x(n – 1) + h(1)x(n – 2) + h(2)x(n – 3) + …
= x(n – 1) + (-0.6)x(n-2) + (-0.6)2x(n – 3) + …

y(n) = x(n) + (-0.6)y(n – 1)

Vậy phương trình vi sai I/O của hệ thống là:
y(n) = - 0.6y(n – 1) + x(n)