Xác suất

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
KHOA HTTTKT

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

THS. LÊ VĂN HÙNG
E_mail: [email protected]
Mobile: 0906238311
Phần I
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
CHƯƠNG TRÌNH MÔN
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
Chương 1: Bi?n ng?u nhi�n v�
x�c su?t
Chương 2: D?i lu?ng ng?u nhi�n
r?i r?c
Chương 3: D?i lu?ng ng?u nhi�n
li�n t?c
Chương 4: M?t s? quy lu?t ph�n
ph?i x�c su?t thu?ng g?p
Chương 5: Lu?t s? l?n
Chương 6: Lý thuyết mẫu
Phần II
THỐNG KÊ TOÁN
Chương 7: Ước lượng các tham số đặc trưng của ĐLNN
Chương 8: Kiểm định giả thiết
thống kê
Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng, NXB GD, 2009
Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, NXB GD, 2009
TS. Nguyễn Cao Văn, TS. Trần Thái Ninh, Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB GD, 2002.
TS. Nguyễn Cao Văn, TS. Trần Thái Ninh, TS. Nguyễn Thế Hệ, Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê, NXB GD, 2002.
TÀI LIỆU HỌC TẬP
VÀ THAM KHẢO
Chuong I
Bi?n ng?u nhi�n v� x�c su?t
1.1. Các phép toán tập hợp
Tính giao hoán: AB=BA (hay A+B=B+A)
AB=B A (hay A.B=B.A)
Tính kết hợp: (A.B).C=A.(B.C)
(A + B) + C= A + (B + C)
Tính phân phối: (A + B).C = A.C + B.C
A(BC) =(AB)(AC)
Định luật De-Morgan:
1.2. Quy tắc cộng
Một công việc H có thể tiến hành theo k phương án. Phương án thứ i có ni cách thực hiện (i = 1, 2, …n).
Khi đó công việc H có n1+ n2 + ….+ nk cách thực hiện.
1.3. Quy tắc nhân
Một công việc H có thể được chia thành k giai đoạn. Giai đoạn thứ i có ni cách thực hiện (i = 1, 2, …n).
Khi đó công việc H có cách thực hiện.
1.4. Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử. Số cách lấy ra một tập con k phần tử của A (kn) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.
Tính chất:
1.5. Chỉnh hợp
Cho tập A gồm n phần tử. Số cách lấy ra k phần tử khác nhau của A (kn) và xếp chúng theo một thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.
1.6. Hoán vị
Cho tập A gồm n phần tử (n>0). Một cách xếp n phần tử này theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Ký hiệu: Pn= n!
1.7. Chỉnh hợp lặp
Cho tập A gồm n phần tử (n>0). Số cách lấy ra k phần tử có hoàn lại từ tập A và theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp lặp. = nk
1.8. Phép thử và không gian mẫu
1.8.1. Phép thử
Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát, một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra hay không.
Phép thử mà ta không khẳng định được một cách chắc chắn kết quả trước khi thực hiện phép thử mặc dù đã biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó được gọi là phép thử ngẫu nhiên.
1.8. Phép thử và không gian mẫu

1.8.2. Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó, ký hiệu là 
Thí dụ: Tung đồng xu một cách ngẫu nhiên thì không gian mẫu là {S, N}
1.8. Phép thử và không gian mẫu
1.8.3. Biến cố
Biến cố là một sự kiện và việc đúng sai của nó phụ thuộc vào phép thử hay nói cách khác biến cố là tập con của không gian mẫu ký hiệu là các chữ cái in hoa và in hoa có chỉ số
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu 
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu 
1.8. Phép thử và không gian mẫu
1.8.4. Quan hệ giữa các biến cố
Quan hệ kéo theo: Biến cố B được gọi là kéo theo biến cố A, ký hiệu B A nếu B xảy ra thì A xảy ra.
Quan hệ tương đương: 2 biến cố A và B được gọi là tương đương nếu AB và BA
Biến cố đối: Biến cố đối của biến cố A ký hiệu là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
1.8. Phép thử và không gian mẫu
1.8.5. Các phép toán trên biến cố
Phép hợp: Hợp của n biến cố A1, A2, …, An là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một biến cố nào đó trong các biến cố Ai (i=1,2,..n) xảy ra. Ta ký hiệu hoặc A1 +A2 +…+An
Phép giao: Giao của n biến cố A1, A2, …, An là biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai (i=1,2,..n) đều xảy ra. Ký hiệu
1.8. Phép thử và không gian mẫu
1.8.6. Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A.B=
Biểu đồ VENN:
1.8. Phép thử và không gian mẫu
Thí dụ: Ba xạ thủ 1, 2, 3 mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu. Gọi Ai là các biến cố xạ thủ i bắn trúng (i=1, 2, 3). Hãy mô tả các biến cố sau:
1.9. Xác suất của một biến cố
Xác suất của 1 biến cố là một số nằm giữa 0 và 1, số này đo lường khả năng xuất hiện của biến cố đó khi phép thử được thực hiện. Xác suất của biến cố A được ký hiệu là p(A).
Các cách định nghĩa xác suất:
Định nghĩa xác suất bằng hệ tiên đề.
Định nghĩa xác suất cổ điển.
Định nghĩa xác suất dựa trên tần suất
Định nghĩa xác suất cổ điển
Giả sử phép thử  có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này có đồng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi của A và số kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Định nghĩa xác suất bằng tần suất
Nếu số các kết quả có thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không đồng khả năng thì tính xác suất cổ điển như trên là không chính xác nữa.
Giả sử phép thử  có thể được thực hiện lặp lại rất nhiều lần trong điều kiện giống hệt nhau và độc lập với nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử , biến cố A xuất hiện k lần thì tỉ số fn (A) = k/n được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.
1.10. Các quy tắc tính xác suất
P()=0
P()=1
Quy tắc cộng:
Chú ý: Nếu các biến cố A và B xung khắc thì P(AB)=P(A)+P(B)
1.11. Xác suất có điều kiện- Quy tắc nhân tổng quát
Giả sử A và B là 2 biến cố xác định trên phép thử c. Xác suất của biến cố B với điều kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là:
Nhìn chung là:
Thí dụ: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để tổng số nốt xuất hiện trên 2 con không nhỏ hơn 10, biết rằng có ít nhất 1 con đã ra nốt 5
A= “Có ít nhất xúc xắc ra mặt 5”
B= “Tổng số nốt xuất hiện trên hai con >=10”
P(A)= 11/36
p(AB)=3/36
Quy tắc nhân tổng quát
1.12. Công thức xác suất đầy đủ
Hệ các biến cố B1, B2, …, Bn được gọi là êệ biến cố đầy đủ các biến cố nếu thoả mãn đồng thời các điều kiện:
Công thức xác suất đầy đủ
1.13. Công thức Bayes
Hệ các biến cố B1, B2, …, Bn được gọi là êệ biến cố đầy đủ các biến cố nếu thoả mãn đồng thời các điều kiện:
Công thức Bayes
1.14. Công thức Bernoulli
Định nghĩa: Tiến hành n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli ( lược đồ Bernoulli) nếu thoả mãn đồng thời 2 điều kiện:
1. Mỗi phép thử có 2 kết quả hoặc A hoặc
2. p(A)=p với mọi phép thử
1.14. Công thức Bernoulli
Tần suất xuất hiện biến cố A đúng k lần trong n phép thử là:
Số có khả năng nhất: k0
Là số lần xảy ra biến cố A trong n phép thử với xác suất lớn nhất.
Nếu np+p là số nguyên thì k0 là np+p hoặc np+p-1
Nếu np+p không nguyên thì k0 là [np+p]