Vui học toán

Tính toán trên các ngón tay
Trong lịch sử cách biểu diễn số không thể không kể đến cách biểu diễn số bằng ngón tay. Ngày nay chúng ta cũng vẫn thường sử dụng ngón tay để đếm các con số không lớn lắm. Hình ảnh các cụ già bấm đốt ngón tay để tính ngày tháng, lịch can chi cũng không phải là xa lạ. Từ "digit" trong tiếng Anh dùng để chỉ các con số từ 1 đến 9 chính bắt nguồn từ nghĩa "ngón tay". Các ngón tay có lẽ là "bàn tính" đầu tiên và đơn giản nhất của con người.

Bây giờ chúng ta sẽ học cách làm tính đơn giản với các số lớn hơn 5, nhỏ hơn 10 không cần phải học thuộc hết bảng cửu chương. Chẳng hạn thực hiện phép nhân 7 và 9. Cụp tay phải xuống 2 ngón tay và cụp tay trái xuống 4 ngón tay. Cộng số ngón cụp ở hai tay ta thu được 6, nhân số ngón duỗi ở hai tay ta thu được 3. Kết quả là 63.
1.Hãy giải thích cách làm này.
2. Hãy thực hiện phép nhân 6 và 8 theo cách này.
Nhân đôi và hoà giải

Hãy quan sát bảng sau đây

54 68
27 136*
13 272*
6 544
3 1088*
1 2176*
_____

3672

Bảng trên thực hiện phép tính gì? Phương pháp thực hiện phép tính ở đây? Giải thích cách làm.
Cho biết một ứng dụng có thể của phương pháp tính trên theo bạn
Hợp sức giải quyết những bài toán "khó"
Problema Bovinum: Các bài toán khó của thời cổ đại thường được gọi bằng tên này hoặc problema Archimedis. Với công cụ toán học hiện nay thì một học sinh phổ thông cũng dễ dàng giải được. Các bạn hãy tận dụng tối đa sức mạnh sự hợp tác tập thể để tìm ra kết quả nhanh nhất.

Problema Bovinum của Archimedes
Thần mặt trời có một đàn bò cả đực cả cái. Một phần màu trắng, một phần màu đen, một phần khoang và phần còn lại màu nâu.

Trong số bò đực, số bò đực trắng nhiều hơn số bò đực nâu là một nửa cộng với một phần hai của số bò đực đen; số bò đực đen nhiều hơn số bò đực nâu là một phần tư cộng với một phần năm số bò đực khoang; số bò đực khoang nhiều hơn số bò đực nâu là một phần sáu cộng với một phần bảy số bò đực trắng.

Trong số bò cái, số bò cái trắng bằng một phần ba cộng với một phần tư tổng số bò đen; số bò cái đen bằng một phần tư cộng với một phần năm tổng số bò khoang; và số bò cái khoang bằng một phần năm cộng với một phần sáu tổng số bò nâu; số bò cái nâu bằng một phần sáu cộng với một phần bảy tổng số bò trắng.

Có ít nhất bao nhiêu con bò mỗi loại?
Khối đa diện

Một đa giác đều là một đa giác lồi với với tất cả các góc bằng nhau và tất cả các cạnh bằng nhau
Mở rộng ra không gian, một khối đa diện đều là một khối đa diện có tất cả các cạnh bằng nhau, các góc (phẳng) bằng nhau và các mặt bằng nhau.

Với n>=3 bất kì đều tồn tại đa giác đều n cạnh

Lục giác đều
17 giác đều – Cách dựng của Richmond (1893)
Nhưng trong không gian các khối đa diện đều lại thật sự là "của hiếm". Vận dụng công thức Euler cho đa diện V - E + F = 2 (với V là số đỉnh, E là số cạnh và F là số mặt của đa diện), một học sinh phổ thông cũng dễ dàng chứng minh rằng chỉ tồn tại 5 khối đa diện đều.

V - E + F = 2
Người đầu tiên đã mô tả tất cả 5 khỗi diện đều này là Plato, trong cuốn Timeneus của mình ông đã chỉ ra cách dựng các mô hình các khối bằng cách ghép các tam giác hình vuông và ngũ giác để tạo nên các mặt của các khối đó. Trong Timaneus Plato cũng đã liên hệ một cách huyền bí bốn hình khối tứ diện, bát diện, 20 mặt và khối lập phương với bốn "yếu tố cơ bản" của vật chất là lửa, không khí, nước và đất. Khối 12 mặt được liên hệ với vũ trụ xung quanh.

Johann Kepler, nhà thiên văn học và toán học thế kỉ XVI-XVII đã đưa ra giải thích cho mối liên hệ này. Theo ông khối tứ diện có bề mặt bao quanh một thể tích nhỏ nhất trong khi khối 20 mặt thì bao quanh một thể tích lớn nhất. Lửa "khô" nhất trong 4 yếu tố và nước là ướt nhất nên khối tứ diện biểu thị cho lửa và khối 20 mặt biểu thị cho nước. Khối lập phương được liên hệ với đất vì khi đứng trên mặt hình vuông nó vững vàng nhất. Khối bát diện dễ dàng cầm được ở hai đỉnh bằng ngón trỏ và ngón cái và dễ dàng xoay tròn nhất nên có tính bất ổn định của không khí. Còn khối 12 mặt được liên hệ với vũ trụ vì hoàng đạo có 12 cung.
Johann Kepler
Mối liên hệ các đa diện đều theo cách lý giải của Johann Kepler
Các khối tứ diện, lập phương hay bát diện có thể thấy trong thiên nhiên như ở tinh thể natri sulphantimoniat, muối ăn, phèn xanh. Hai hình khối còn lại được tìm thấy giống như bộ xương các vi động vật ở biển gọi là trùng mặt trời Radiolaria.

Hai khối đa diện đều gọi là đối ngẫu với nhau nếu đa diện này được thu từ đa diện kia bằng cách nối tâm các mặt của đa diện đó với nhau. Hãy tìm các cặp đa diện đều đối ngẫu.

Cho các khối đa diện đều cũng nội tiếp một hình cầu. Sắp xếp các khối theo thứ tự tăng dần của thể tích.
Có một ví dụ về một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều nhưng lại không phải là một khối đa diện đều rất thân thuộc với chúng ta. Bạn có thể cho biết đó là vật gì không?
Chia ba một góc

Trong bộ Nguyên lí nổi tiểng của mình Euclid đã dành cả một quyển số 4 cho những lập luận về các phép dựng hình Pythagoras bằng thước kẻ và compa. Có lẽ vì thế mà những dụng cụ này về sau được gọi tên là dụng cụ Euclid. Chỉ với hai dụng cụ tưởng chừng thật đơn giản này người ta có thể dựng được những hình rất phức tạp song thật lạ lùng là có những bài toán dựng hình tưởng chừng rất đơn giản lại không thể dựng được chỉ với compa và thước kẻ Euclid.


Euclid 325-265 BC
Ba bài toán dựng hình nổi tiếng đã làm đau đầu không biết bao nhiêu những bộ óc lỗi lạc thời cổ đại đến gần đây, và hiện nay cho dù đã có những chứng minh đúng đắn cho tính không thể giải được của 3 bài toán này vẫn có nhiều người gửi đến các tạp chí những "lời giải" cho các bài toán cổ xưa này.

1. Bài toán Cầu phương hình tròn : dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước

2. Tăng đôi khối lập phương: dựng khối lập phương có thể tích gấp đôi một khối lập phương cho trước

3. Chia ba một góc: Cho trước một góc bất kì, dựng góc có số đo bằng 1/3 góc ấy
Tính bất khả thi của 3 bài toán này được chứng minh theo phương pháp đại số. Có thể nêu qua hai định lý cơ bản sau

(1) Số đo của bất kì chiều dài nào dựng được bằng các dụng cụ Euclid từ một chiều dài đơn vị cho trước là một số đại số.

(2) Từ một chiều dài đơn vị cho trước không thể dựng được bằng các dụng cụ Euclid một đoạn mà độ đo chiều dài của nó là nghiệm của một phương trình bậc 3 với các hệ số hữu tỉ nhưng không có nghiệm hữu tỉ.

Trong quá trình đi tìm lời giải cho ba bài toán này người ta đã nghĩ đến những cách tiếp cận bằng phương pháp dựng gần đúng hay nới lỏng một chút các yêu cầu về dụng cụ. Chúng ta sẽ cùng nghiên cứu một dụng cụ như vậy.

Không rõ ai là người đầu tiên đã sáng tạo ra "cái rìu", nhưng dụng cụ này đã được mô tả trong một cuốn sách vào năm 1835. Dựng một "cái rìu" bắt đầu từ một đoạn thẳng RU được chia ba bởi S và T. Dựng nửa đường tròn tâm T bán kính TS. Vẽ SV vuông góc với RU.
Câu hỏi: Hãy chỉ ra cách dùng cái rìu để chia 3 một góc cho trước.
Đáp án: Gọi góc cần chia là ABC. Di chuyển cái rìu sao cho B nằm trên SV, BA đi qua R và BC tiếp xúc với nửa đường tròn. Khi đó góc ABC được chia 3 bởi các đường BT, BS.

Bằng 2 cái rìu, hãy chỉ ra cách chia năm một góc bất kì.