Vô cùng bé ,vô cùng lớn

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 HK1 0708
BÀI 4: VCBÉ ? VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN)


TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007)
VÔ CÙNG BÉ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đại lượng ?(x) ? vô cùng bé (VCB) khi x ? x0:
VCB cơ bản (x ? 0): Lượng giác
Mũ, ln:
Lũy thừa:
x0: Không quan trọng. VCB x ? ?:
VCB x ? 1: sin(x?1) ?
VD:
?(x), ?(x) ? VCB khi x ? x0
? ?(x) ? ?(x) , ?(x)?(x): VCB
? C(x)?(x): VCB
?(x) VCB, C(x) bị chặn
BT:
SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?(x), ?(x) ? VCB, x ? x0 và ?
? So sánh được
VD: So sánh VCB:
1/ c = 0 : ?(x) ? VCB cấp cao so với ?(x): ?(x) = o(?(x))
2/ c = ?: Ngược lại trường hợp c = 0 ? ?(x) = o(?(x))
3/ c ? 0, c ? ? : vô cùng bé cùng cấp
Cách nói khác: ?(x) ? VCB cấp thấp hơn
VCB cấp thấp: Chứa ít ?thừa số 0? hơn. VD: sin2x, x3
A�p dụng: So sánh 2 vô cùng bé xm , xn (m, n > 0) khi x ? 0
VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG ? (QUAN TRỌNG) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?(x), ?(x) ? VCB tương đương khi x ? x0 ?
VD: Tìm hằng số C và ? để:
VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)
VCB lượng giác:
VCB mũ, ln:
VCB lũy thừa (căn):
VD:
DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
? ~? & ?1 ~ ?1 khi x ? x0 ? ? ? ?1 ~ ? ? ?1
VD: Tìm
x có thể ? x0 bất kỳ. VD: Tìm
A�p dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn
Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)
Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)
QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?, ? ? VCB khác cấp ? ? + ? tương đương VCB cấp thấp hơn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: ?(x), ?(x) ? tổng VCB khác cấp ? lim ?/? = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)
VD:
Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & ? ? 0
VÔ CÙNG LỚN ? SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm y = f(x) ? vô cùng lớn (VCL) khi x ? x0 :
Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất
Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim
So sánh VCL: f(x), g(x) ? VCL khi x ? x0 và ? giới hạn f/g
VD:
c ? 0, ?: f(x), g(x) ? VCL cùng cấp
c = 1: f, g ? VCL tương đương : f ~ g
c = ?: f ? VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> g
KẾT LUẬN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 ?):
Dạng tích (thương) ? Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn
với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) ?
Dạng tổng VCB khác cấp ? Thay bằng VCB cấp thấp 1
Dạng tổng VCB tổng quát ?fi(x) ? Thay mỗi fi(x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa:
Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng ?/? ?): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất
HÀM LIÊN TỤC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục ? xác định
VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:
f(x) xác định tại x0

Hàm f(x) liên tục tại x0:
Hàm liên tục/[a, b] ? (C): đường liền
Gián đoạn!
VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:
: Không sơ cấp!
LIÊN TỤC MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm f(x) liên tục tại x0 ? Liên tục trái & liên tục phải tại x0
f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 và
f(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 và
Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt ? ? Khảo sát
VD: Khảo sát tính liên tục:
Chú ý:
PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm f xác định & gián đoạn tại x0 ? Không có
Hoặc ? lim f ? f(x0), hoặc lim? ? lim+, hoặc ? lim f: 3 trường hợp!
Loại 1:
Điểm khử được:
Điểm nhảy:
Bước nhảy:
Loại 2:
(Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía)
f(x) gián đoạn tại x0
VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại
VÍ DỤ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại
VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a
TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f bị chặn trên [a, b]: ? m, M
& m ? f(x) ? M ? x ? [a, b]
f đạt GTLN, BN trên [a, b]:
? x0, x1 ? [a, b]: f(x0) = m, ?
f nhận mọi giá trị trung gian: ? k & GTBN ? k ? GTLN ? ? c ? [a, b]: f(c) = k
(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0 ? ? c ? (a, b) : f(c) = 0
Chú ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng!
Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b]
VÍ DỤ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm
1/ Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên R
f liên tục tại 0 & 1
a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f2(x) = 1 ? x ? Rb/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f2(x) = 1 ? x ? R
f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b):
a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2)