VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MẶT PHẲNG

ÔN TẬP LÝ THUYẾT
GV: BÙI NGỌC LINH
    a) Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến cuûa chuùng không cùng phương.
   Vị trí tương đối của hai mặt phẳng  
����������� (?) : Ax + By + Cz + D = 0����������� ����������������� (1)
����������� (?`) : A`x + B`y + C`z + D` = 0����������������������� (1`)
V?y : (?) c?t (?`) ? A : B : C ? A` : B` :C`
b) (?) trùng với (?`)
c) (?) song song (?`)
Chùm mặt phẳng
Hai mặt phẳng (α) và (α’) cắt nhau theo một đường thẳng d
Tập hợp các mặt phẳng qua d gọi là chùm mặt phẳng�
?(Ax+By+Cz+D)+ ?(A`x+B`y+C`z+D`) = 0 , ?2 + ?2 ? 0 (2)
Phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng
VÍ DỤ
Cho ba mặt phẳng (?1) , (?2) , (?3) lần lượt có phương trình:
(?1):2x-y+z+1=0 ,(?2):x+3y-z+2=0 , (?3):-2x+2y+3z+3=0
1) Chứng minh (?1) cắt (?2)
2) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua giao tuyến của (?1) cắt (?2) và đi qua điểm M0 =(1 ;2 ; 1)
Giải
V?y : (?1) c?t (?2) ? 2 : -1 : 1 ? 1 : 3 :-1
,là các véc tơ pháp tuyến
GIẢI
phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
?(2x-y+z+1)+ ?(x+3y-z+2) = 0 , ?2 + ?2 ? 0
hay
(2?+ ?)x+ (-?+3 ?)y+ (?- ?)z+ ?+2 ? =0
M0 =(1 ;2 ; 1)?(?) nên:
(2?+ ?)1+ (-?+3 ?)2+ (?- ?)1+ ?+2 ? =0 ?2 ?+8 ? =0
?+4 ?=0
?
Cho ?=4 thì ?=-1
phương trình mặt phẳng (?) là:
7x-7y+5z+2=0
3) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua giao tuyến của (?1) và (?2) và song song với trục Oy
4) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua giao tuyến của (?1) và (?2) và vuông góc mặt phẳng (?3)
GIẢI
phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
(2?+ ?)x+ (-?+3 ?)y+ (?- ?)z+ ?+2 ? =0
Ví (?) //Oy nên hệ số củay trong phương trình (?) bằng 0
(-?+3 ?)=0
Cho ?=3 thì ? =1
phương trình (?):
7x+2z+5=0
GIẢI
Phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
(2?+ ?)x+ (-?+3 ?)y+ (?- ?)z+ ?+2 ? =0
mặt phẳng (?)có véc tơ pháp tuyến
mặt phẳng (?3) có véc tơ pháp tuyến
Hai mặt phẳng vuông góc nên:
(2?+ ?)(-2)+ (-?+3 ?).2+ (?- ?).3 =0
-3?+ ? =0
Cho ?=1 thì ? =3
phương trình (?):
5x+8y-2z+7=0
?
?
?
BÀI TẬP
Bài 1
Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng có phưong trình:
a)x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0
Giải
Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:2:-1 ? 2:3:-7
b) x-2y+z+3=0 và 2x-y+4z-2=0
Giải
Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:-2:1 ? 2:-1:4
Giải
Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:1:1 ? 2:2:-2
Giải
Hai mặt phẳng song song vì:
Giải
Hai mặt phẳng trùng nhau vì:
c) x+y+z- 1=0 và 2x+2y-2z+3=0
d)3x-2y-3z+5=0 và9x-6y-9z-5=0
e) x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0
Bài 2:Xác định giá trị l và m để các cặp mặt phẳng sau dây song song với nhau
a) 2x+ly+2z+3=0 và mx+2y-4z+7=0
b) 2x+y+mz-2=0 vàx+ly+2z+8=0
Giải:
a)Để hai mặt phẳng song song thì điều kiện cần và đủ là:
Bài 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình:
2x-my+3z-6+m=0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0
Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng đó:
a)Song song với nhau ?
b)Trùng nhau ?
c)Cắt nhau ?
Giải :
a)Song song với nhau ?
m=1 thì không thoả (*)
Vậy không có giá trị nào của m để hai mặt phẳng //
b)Trùng nhau khi m=1
c)Cắt nhau khi m?1
?
Bài 4:Viết phương trình của mặt phẳngtrong mỗi trường hợp sau:
a) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua điểm M0 =(2 ;1 ;- 1)
và đi qua giao tuyến của (?1) cắt (?2)
b) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua giao tuyến của mf: y+2z-4=0 vàx+y-z-3=0 đồng thời � song song với mf:x+y+z-2=0
(?1):x-y+z-4=0
(?2):3x-y+z-1=0
GIẢI
phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
?(x-y+z-4)+ ?(3x-y+z-1) = 0 , ?2 + ?2 ? 0
hay
(?+3 ?)x- (?+ ?)y+ (?+ ?)z-4 ?- ? =0
M0 =(2 ;1 ;-1 )?(?) nên:
-4?+3 ?=0
(?+3 ?)2- (?+ ?).1+ (?+ ?)(-1)-4 ?- ? =0
?
Cho ?=3 thì ?=4
phương trình mặt phẳng (?) là:
15x-7y+7z-16=0
GIẢI
phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
?(y+2z-4)+ ?(x+y-z-3) = 0 , ?2 + ?2 ? 0
hay
? x+ (?+ ?)y+ (2?- ?)z-4 ?-3 ? =0
Hai mặt phẳng song song
?
?
?= ?=0
Không có (?)
c) Viết phương trình mặt phẳng (?) qua giao tuyến của 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 �đồng thời vuông góc mặt phẳng 2x-z+7=0
GIẢI
Phương trình mặt phẳng (?) có dạng:
(3?+ ?)x+ (-?+4 ?)y+ ?z-2 ? -5 ? =0
mặt phẳng (?) có véc tơ pháp tuyến
mặt phẳng 2x-z-7=0 có véc tơ pháp tuyến
Hai mặt phẳng vuông góc nên:
(3?+ ?)(2)+ (-?+4 ?).0+ (?)(-1) =0
5?+2 ? =0
Cho ?=-2 thì ? =5
phương trình (?):
x-22y+2z+21=0
?
?
?
BÀI 5:Xác định các giá trị l,m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng:
5x+ly+4z+m=0
3x-7y+z-3=0
x-9y-2z+5=0
Giải :
Cách 1:Hai mặt phẳng:
3x-7y+z-3=0
x-9y-2z+5=0
và
Cắt nhau theo đương thẳng d
Chọn trên d 2 diểm phân biệt
MvàN thay toạ độ M và N vào phương trình:5x+ly+4z+m=0
tìm được: l =-5 ; m=-11
Cách 2:
Mặt phẳng thứ ba đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng kia nên phương trình của nó có dạng phương trình chùm:
?(3x-7y+z-3)+ ?(x-9y-2z+5) = 0 , ?2 + ?2 ? 0
(3?+ ?)x- (7?+9 ?)y+ (?-2? )z-3 ? +5 ? =0
Ta có mặt phẳng thứ ba:
5x+ly+4z+m=0
Vậy: 3?+ ?=5 (1) ; 7?+9 ? = - l (2)
; ?-2? =4 (3) ; -3 ? +5 ? =m (4)
từ (1) ; (3) ta có: ?=2 ? = - 1
Thay ?=2 ? = - 1 vào (2) va(4) được:l= -5 và m=-11