Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu - 2

Đ2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với
mặt phẳng và đường thẳng

Mặt cầu (S) và mp(P) có một điểm chung duy nhất.
Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó.
mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.
* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một
Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất.
Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán
Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.
kính của mặt cầu.
trong các điều kiện sau:
một trong các điều kiện sau:
Kiểm tra kiến thức cũ
3. Các tính chất của tiếp tuyến
Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
CM: ??a ? A; a ? OA ?
? Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A
? Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P):
mp(P) ? A, (P) ? OA
§2.VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi
mÆt ph¼ng vµ ®­êng th¼ng
? mp(P) là tiếp diện của (S) tại A.
?? a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A
* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một
Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất.
Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán
Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.
kính của mặt cầu.
trong các điều kiện sau:
Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và
đi qua điểm tiếp xúc.
Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.
Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A.
Cm: Đặt OA = d ? d > R
Gọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO;
mp(P) ? S(O;R) = C(O;R).
Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C).
Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AM` với (C),
Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.
đó là 2 tiếp tuyến của (S).
Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Giải:
a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên AB?OB:
b) Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có:
OC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD.
Bài 5 . Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A và B. Chứng minh rằng
Vì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là hai tiếp tuyến với mặt cầu.
Giải:
Vì AM và AI là hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên:
AM = AI.
Tương tự ta có BM = BI.
?Hai tam giác AMB và AIB bằng nhau (c, c, c).
(S)  (P) = 
(S)  (P) = {H}
(S)  (P) = C(H; r)
Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng
d > R d = R d < R
( S) ∩  = Ø ( S ) ∩  = { H } ( S ) ∩  = { A, B}
Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng
Vị trí điểm A
Số lượng tiếp tuyến
Hình ảnh
Tiếp tuyến của đường tròn (C)
1
A ?(C)
2
A ngoài (C)
Vô số
A ?(S)
Vô số
A ngoài (S)
Tiếp tuyến của mặt cầu (S)