Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng

Sở GD ĐT Bắc Ninh
trường thpt hàn thuyên
Kính chào quý thầy cô tới dự tiết học hôm nay
Giáo viên biên soạn và thực hiện : đinh văn dũng
Chương II phương pháp toạ độ trong không gian
Bài 5
vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng chùm mặt phẳng
2Tiết 41,42
Tiết 41
1 Một số quy ước và kí hiệu
Hai bộ số (A1;A2;.An) và (A`1;A`2;.A`n) được gọi là tỉ lệ với nhau
Nếu có số t = 0 sao cho:
A1= tA`1 ,
A2= tA`2 , . ,
Ví dụ : Hai bộ số (1 ; 2 ; 0 ; -3) , (-3 ; -6 ; 0 ; 9) là hai bộ số tỉ lệ
An= tA`n
Hoặc có số t` = 0 sao cho:
A1`= t`A1 ,
A2`= t`A2 , . ,
An`= t`An
t= -
còn t`= -3
1
3
Trong trường hợp này
Khi hai bộ số (A1;A2;.An) và (A`1;A`2;.A`n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu:
A1:A2:.:An =A`1:A`2:.:A`n
1 : 2 : 0 : -3 = -3 : -6 : 0 : 9
Ví dụ :
Ngoài ra còn dùng kí hiệu sau:
A1 A2 An
A`1 A`2 A`n
Chú ý : với kí hiệu trên có thể có một Ai` náo đó bằng 0 (i=1,2,.n)
khi đó hiển nhiên Ai cũng bằng 0.
=
=
=
.
Khi hai bộ số (A1;A2;.An) và (A`1;A`2;.A`n) không lệ nhau ta kí hiệu:
A1:A2:.:An =A`1:A`2:.:A`n
Nếu có hai vectơ n(A;B;C) và n`(A`;B`;C`)
áp dụng kí hiệu trên để biểu thị
a) Hai vectơ cùng phương
b) Hai vectơ không cùng phương
vectơ n(A;B;C) và n`(A`;B`;C`)
Cùng phương ? A:B:C = A`:B`:C`
Không cùng phương ? A:B:C = A`:B`:C`
Vị trí tương
đối giữa (a) và (a`)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz hai mặt phẳng (a) và (a`) có phương trình tổng quát lần lượt là:
(a): Ax + By + Cz+D = 0 (1)
(a)`: A`x+B`y+C`z+D` = 0 (1`)
n (A ; B ; C)
n`(A`;B`;C`)
Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến
Hãy tìm điều kiện của các hệ số trong (1) và (1`) ứng với
ba trường hợp trên
Vị trí tương
đối giữa (a) và (a`)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz hai mặt phẳng (a) và (a`) có phương trình tổng quát lần lượt là:
(a): Ax + By + Cz+D = 0 (1)
(a)`: A`x+B`y+C`z+D` = 0 (1`)
n (A ; B ; C)
n`(A`;B`;C`)
Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến
Hãy tìm điều kiện của các hệ số trong (1) và (1`) ứng với
ba trường hợp trên
(a)
(a’)
(a) Cắt (a`) ?A:B:C =A`:B`:C`
n
n`
Nhận xét gì về n và n`
(a) Cắt (a`)
(a) = (a`)
n
n`
M0
n
n`
và
cùng phương
Có điểm chung M0(x0;y0;z0)
1)
n
n`
và
cùng phương
? tồn tại số t khác 0 sao cho:
A = tA`
B = tB`
C = tC`
2) Điểm chung M0(x0;y0;z0)
Nên A x0+B y0+C z0 + D = 0
Và A`x0+B`y0+C`z0 + D` = 0
Hay tA`x0+ tB`y0+ tC`z0 + D = 0
? t( A`x0+B`y0+C`z0) + D = 0
? t(-D`) + D = 0
? D = tD`
A B C D
A` B` C` D`
=
=
=
(a) = (a`)
(a)
// (a’) khi vµ chØ khi chóng
n
n`
(a’)
(a) // (a`) khi nào ?
A B C D
A` B` C` D`
=
=
=
(a) // (a`)
không trùng nhau
Không cắt nhau
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a) (a) :2x-2y+3z+1= 0 và (a`): x+2y-3z+ 6 = 0
b) (a) : x-2y+3z+ 6 = 0 và (a`): 2x - 4y+6z+ 12 = 0
c) (a) : x-2y+3z+ 6 = 0 và (a`): 2x - 4y+6z + 5 = 0
Ví dụ 2: Trắc nghiệm khách quan
Trong các phương án trả lời sau phương án nào đúng. phương án nào sai
Cho hai mặt phẳng (a) : x+2y+3z+ 4= 0 và (a`): 3mx+6my+9mz+n= 0
A) Tồn tại m để (a) cắt (a`)
B) Với mọi m = 0 thì (a) // (a`)
C) Với mọi m = 0 và n=12 thì (a) // (a`)
D) Tồn tại m=0 và n=12 thì (a) // (a`)
F) Với m =1 và n =12 thì (a) trùng (a`)
E) Với mọi m=0 và n= 12m thì (a) // (a`)
S
S
S
Đ
Đ
Đ
3.Chùm mặt phẳng
a
b
g
Cho hai mặt phẳng (a) và (a`) cắt nhau có phương trình tổng quát lần lượt là:
(a): Ax + By + Cz+D = 0 (1)
(a)`: A`x+B`y+C`z+D` = 0 (1`)
Định lí.
Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a`) có dạng:
l(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0, m + l =0
(2)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương
trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a`)
b) Định nghĩa.
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến
của hai mặt (a) và (a`) gọi là một chùm mặt phẳng.
Phương trình (2) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng.
2
2
Cho ba mặt phẳng (a1),(a2),(a3) lần lượt có phương trình:
(a1) :2x-y+z+1= 0
(a2) : x+3y-z+ 2 = 0
Ví dụ 1:
(a3) : -2x+2y+3z+ 3 = 0
Chứng minh rằng (a1) cắt (a2)và viết phương
trình chùm mặt phẳng xác định bởi (a1) cắt (a2)
a
b
Lời giải
1) (a1) cắt (a2)
Vì 2:-1:1=1:3:-1
phương trình chùm mặt phẳng xác
định bởi(a1) cắt (a2) là:
l(2x-y+z+1)+m (x+3y-z+ 2) =0 ,
m +l = 0
2
2
Hay (2l+m) x+(-l+3m) y+(l-m) z +l+2m =0 (*)
a1
a2
a
M
Lời giải
2) Viết phương trình mặt phẳng (a)
qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(a1) và (a2) và qua điểm M(1;2;1)
Cho ba mặt phẳng (a1),(a2),(a3) lần lượt có phương trình:
(a1) :2x-y+z+1= 0
(a2) : x+3y-z+ 2 = 0
Ví dụ 1:
(a3) : -2x+2y+3z+ 3 = 0
Cho ba mặt phẳng (a1),(a2),(a3) lần lượt có phương trình:
(a1) :2x-y+z+1= 0
(a2) : x+3y-z+ 2 = 0
Ví dụ 1:
(a3) : -2x+2y+3z+ 3 = 0
Mặt phẳng (a) thuộc chùm nên có phương trình dạng (*)
Là: (2l+m) x+(-l+3m) y+(l-m) z +l+2m =0 (*)
m +l = 0
2
2
(a) qua điểm M(1;2;1) nên (2l+m) 1+(-l+3m) 2+(l-m) 1 +l+2m =0
l+4m =0 chän l = 4 th× m = -1
Thay l = 4 thì m = -1 vào (*) ta được PT của (a) là:
7x-7y+5z+2=0
Cho ba mặt phẳng (a1),(a2),(a3) lần lượt có phương trình:
(a1) :2x-y+z+1= 0
(a2) : x+3y-z+ 2 = 0
Ví dụ 1:
(a3) : -2x+2y+3z+ 3 = 0
3) Viết phương trình mặt phẳng (b)
qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(a1) và (a2) và song song với trục Oy
a1
b
Lời giải
m +l = 0
2
2
(2l+m) x+(-l+3m) y+(l-m) z +l+2m =0 (*)
(b) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (a1) và (a2)
Nên có phương trình dạng (*)
o
x
y
z
Do (b) // Oy nên hệ số của y trong (*) phải bằng 0
tức là -l+3m =0
Chọ l=3 , m =1
Thay l = 3 thì m = 1 vào (*) ta được PT của (b) là:
7x+2z+5=0
a2
Cho ba mặt phẳng (a1),(a2),(a3) lần lượt có phương trình:
(a1) :2x-y+z+1= 0
(a2) : x+3y-z+ 2 = 0
Ví dụ 1:
(a3) : -2x+2y+3z+ 3 = 0
4) Viết phương trình mặt phẳng (g)
qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(a1) và (a2) và vuông góc với mặt phẳng (a3)
Phương trình mặt phẳng (g) cũng có dạng (*)
Lời giải
(g) Có vectơ pháp tuyến là n (2l+m ;-l+3m ;l-m)
(2l+m) x+(-l+3m) y+(l-m) z +l+2m =0 (*)
(a3) Cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ n3(-2;2;3)
(g) vuông góc (a3) ? n .n3= 0
? (2l+m) (-2)+(-l+3m) 2+(l-m) 3 =0
? -3 l+ m = 0 Ta chọn l=1, m=3
Phương trình mặt phẳng (g) là: 5x+8y-2z+7=0
Hãy nêu cách giải khác và so sánh với cách giải trên
Chú ý: Để giải bài toán Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của
hai mặt phẳng(a1) và (a2) và thoả mãn một yêu cầu nào đó
hẳng hạn
Đi qua một điểm
Song song với một đường
Vuông góc với một mặt
Song song với một mặt (*)
Ta thường dùng phương trình chùm để giải
Củng cố và ra BTVN
BTVN 1,2,3,4,5 trang 87,88 SGK
Kính chúc các thầy cô mạnh khoẻ
hạnh phúc
Xin cảm ơn các em học sinh