Vật lý thống kê cổ điển

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ
THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Người thực thực hiện:
CN: Nguyễn Hoàng Huy
BÁO CÁO
I. Cơ sở lý thuyết
1. Lý thuyết xác suất
1.1 Phép thử và biến cố
- Phép thử là việc thực hiện một hoạt động tác động lên đối tượng theo qui tắc định trước và ghi nhận kết quả của nó.
- Biến cố là những kết quả liên quan (kết quả có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra) thu được khi thực hiện phép thử.
Ví dụ: Kiểm tra chất lượng học tập của học sinh, chọn ngẫu nhiên một học sinh để kiểm tra là một phép thử. Kết quả kiểm tra của học sinh đó đạt hay không là một biến cố.

1.2. Phân loại xác suất.
Từ khi được hình thành cho đến nay lý thuyết xác suất được hiểu theo một số quan điểm:
- Xác suất cổ điển.
- Xác suất theo quan điểm thống kê.
- Xác suất bằng hình học.












1. Lý thuyết xác suất
1.3. Định nghĩa xác suất.
1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển.



Giả sử khi thực hiện một phép thử ta có n trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó m trường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A là
Với: m là số trường hợp thuận lợi của biến cố A
n là số trường hợp có thể của phép thử
I. Lý thuyết xác suất
1.3.2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê.
Giả sử ta thực hiện một phép thử nào đó n lần độc lập và giống nhau. Biến cố A xuất hiện m lần. Khi đó ta gọi m là tần số của biến cố A và tỉ số được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong phép thử. Cho phép thử tang thêm vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố A dần về một giá trị hữu hạn, giá trị này được định nghĩa là xác suất của biến cố A.
I. Lý thuyết xác suất
1.3.3 Định nghĩa xác suất bằng hình học
Giả sử khi ta thực hiện một phép thử, các trường hợp có thể của nó được biểu diễn bằng miền hình học có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn khác 0. Biến cố A được biểu diễn bằng miền hình học A trong miền hình học . Khi đó, xác suất của biến cố A là
 
I. Lý thuyết xác suất
A
2. Khái niệm cơ bản về thống kê
Thuật ngữ thống kê có hai nghĩa
Thống kê là những con số được ghi chép để phản ánh các hiện tượng tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, xã hội,...
VD: Thu thập các số liệu về lượng mưa trong năm để vẻ biểu đồ.
Thống kê là hệ thống các phương pháp thu thập và phân tích các con số về các hiện tượng đời sống, xã hội,...để tìm hiểu bản chất và tính quy luật vốn có của nó.
VD: Thống kê các hiện tượng thời tiết cực đoan dẫn đến El Nino

2. Khái niệm cơ bản về thống kê
Để thực hiện thống kê đầy đủ, thông thường ta thực hiện hai loại sau:
- Thống kê mô tả
- Thống kê suy diễn
2. Khái niệm cơ bản về thống kê
Thống kê mô tả: là các phương pháp liên quan đến việc thu thập số liệu, tóm tắt, trình bài, tính toán và mô tả các đặc trưng khác nhau để phản ánh một cách tổng quát đối tượng nghiên cứu.
VD: Nghiên cứu về cơ cấu GDP
Thống kê suy diễn: là bao gồm các phương pháp ước lượng các đặc trưng của tổng thể, phân tích mối liên hệ giữa các hiện tượng nghiên cứu, dự đoán hoặc ra quyết định trên cơ sở thu thập thông tin từ kết quả quan sát mẫu.
VD: Nghiên cứu về tuổi thọ của các hành tinh
II. Thống kê cổ điển

Đối với hệ nhiều hạt cổ điển thì phương trình Newton trở nên bế tắc vì không thể tìm được nghiệm của hệ có quá nhiều phương trình.
1. Phương pháp Vật lý thống kê
1.1 Lý do hình thành
1.1 Lý do hình thành
Với hệ nhiều hạt lượng tử, việc áp dụng phương trình Schrodinger trở nên bế tắc và dạng tường minh của toán tử Hamiton quá phức tạp.
1.2. Khái niệm
Vật lý thống kê: ngành học giúp xác định giá trị trung bình của các đại lượng vật lý liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải thích chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hoãn loạn và tuân tuân theo các quy luật thống kê.
2.Thống kê cổ điển
2.1 Một số khái niệm
2.1.1 Định nghĩa không gian pha.








- Không gian pha là một không gian toán học thuần túy. Các trục của không gian pha được đo bằng các giá trị tọa độ và xung lượng suy rộng
- Không gian pha cũng là các vùng chứa tất cả các giá trị khả hữu của tất cả các biến tọa độ và xung lượng suy rông (p,q).


2.Thống kê cổ điển
2.1.2 Điểm pha
M (p,q): gọi là điểm pha. Mỗi điểm pha cho ta biết 1 trạng thái vi mô của hệ. Theo thời gian p, q thay đổi dẫn đếm điểm pha thay đổi M’(p’,q’)
2.1.3 Quĩ đạo pha
Đường cong dịch chuyển M(p,q)M’(p’,q’) gọi là quỹ đạo pha. Đường quỹ đạo pha không cắt chính nó.
2.Thống kê cổ điển
2.1.3 Thông số ngoại
Để đặc trưng cho trạng thái vĩ mô của một hệ vật lý, ta thường dung các đại lượng như: năng lượng, thể tích, nhiệt độ, áp suất, số hạt, mật độ,...
Nếu những tham số này được xác định từ các điều kiện bên ngoài, có giá trị chắc chắn thì được gọi là tham số ngoại
2.Thống kê cổ điển
2.2 Phân bố vi chính tắc
Ta xét 1 hệ đoạn nhiệt (adiabatic, Q=0) tức là hệ không trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài khi các thông số ngoài không đổi.
2.2 Phân bố vi chính tắc
Đối với hệ đoạn nhiệt, ta luôn có biểu thức xác định năng lượng.
Năng lượng của hệ có giá trị xác định theo thời gian nên theo nguyên lý bất định Heisenberg
Đồng thời hàm phân bố phải có dạng cực đại nhọn tức tương tự dạng hàm phân bố Delta Dirac
2.2 Phân bố vi chính tắc
Đồ thị phân thái các điểm pha
E
Hàm phân bố vi chính tắc có dạng
Với
là hệ số chuẩn hóa được xác định từ ĐKCH
Nghĩa là
(1)
2.2 Phân bố vi chính tắc
Biểu thức (1) được gọi là hàm phân bố vi chính tắc Gibbs
Nhờ hàm phân bố vi chính tắc Gibbs mà ta có thể cho ta biết sự phân các điểm pha theo năng lượng
Hàm phân bố còn cho ta tính được giá trị trung bình của một đại lượng vật lý bất kỳ
Do dạng đặc biệt của phân bố vi chính tắc nên việc sử dụng nó gặp hàng loạt khó khăn. Vì vậy người ta sử dụng hàm phân bố đối với hệ đẳng nhiệt.
2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
Xét hệ đẳng nhiệt (T=const),

Năng lượng của hệ:

là hệ vĩ mô do đó và
ở xa nhau

Do đó năng lượng của hệ là:
2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
Hai hệ con và độc lập với nhau nên:


Lấy Lôgarit Nêpe hai vế ta được:

Lấy vi phân hai vế ta được:






2.2 Phân bố chính tắc Gibbs

Hay:


 Cho và tiến đến 0 một cách độc lập
Khi thì:
hay (1)

Khi thì:
hay (2)





2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
Từ (1) và (2) với

Vậy hàm phân bố thỏa phương trình


hay ( )

 Lấy tích phân hai vế của phương trình

hay (*)


Đây chính là phân bố chính tắc Gibbs

2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
Tìm dựa vào mối liên hệ giữa đại lượng Entropy (S) và hàm
Ta có:

Với


 Biểu thức Entropy được viết lại





2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
( là Entropy thống kê)



Hay


Hàm phân bố chính tắc Gibbs được viết lại:






Trong đó: là nhiệt độ thống kê
là thông số của môi trường ngoài
là năng lượng toàn phần của hệ
là năng lượng tự do Helholz

Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất sẽ có N! phép hoán vị, các phép hoán vị không mang lại trạng thái vật lý mới nhưng thể tích pha sẽ giảm đi N! lần do đó hàm phân bố được viết lại:



2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
2.2 Phân bố chính tắc Gibbs
Ý nghĩa của bân bố chính tắc Gibbs

 Hàm cho biết sự phân bố của các điểm pha theo năng lượng hoặc theo nhiệt độ.

 Tính được giá trị trung bình của tất cả các đại lượng Vật lý liên quan
2.3 Phân bố chính tắc Gibbs lớn
Xét hệ gồm N hạt thay đổi mức năng lượng cũng thay đổi. Hàm phân bố xây dựng tương tự Gibbs có dạng:

(1)

Hệ gồm N hạt thay đổi thì thế nhiệt động sẽ thay cho năng lượng tự do
(2)

Với là thế hóa học của hạt

(2)  thay vào (1)


2.2 Phân bố chính tắc Gibbs lớn
(1):

Hàm phân bố chính tắc Gibbs lớn

 Ý nghĩa của hàm phân bố chính tắc Gibbs lớn

 Cho biết sự phân bố số hạt theo năng lượng

 Tính được trị trung bình của tất cả các đại lượng Vật lý liên quan.
CÁM ƠN SỰ THEO DÕI VÀ LẮNG NGHE CỦA QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN!