Vật lý lượng tử
Chia sẻ bởi Dương Quốc |
Ngày 22/10/2018 |
75
Chia sẻ tài liệu: vật lý lượng tử thuộc Bài giảng khác
Nội dung tài liệu:
1
Vật lý Lượng tử
Tài liệu H?C T�P V� tham khảo
1.N.V.Hiệu,N.B.�n,Co s? lý thuy?t c?a vật lý lượng tử, NXB ĐHQGHN, 2003.
2.P.Q.Tư, Đ. Đ. Thanh, Cơ học Lượng tử, NXB ĐHQGHN,2003.
3.N. X. Hãn, Cơ học Lượng tử, NXB ĐHQGHN, 2003.
4.D.Halliday, R.Resnic, J.Walker, Cơ sở Vật lý (T.6. Quang học và Vật lý Lượng tử), NXB Giáo dục dịch, 2002.
2
Nội dung
Chương 1. Những tiên đề của Cơ học lượng tử
Chương 2. Một số phương trình, định lý v� d?nh lu?t
co b?n suy ra từ các tiên đề của Cơ học
lượng tử
Chương 3. Lý thuy?t lu?ng t? v? mômen xung lượng
Chương 4. H�m súng v� ph? nang lu?ng c?a m?t s?
h? vi mụ di?n hỡnh
Chương 5. Lý thuy?t nhi?u lo?n
Chương 6. H? nhi?u h?t d?ng nh?t
3
Mở đầu
Vật lý Cổ điển?
Đối tượng nghiên cứu: vật thể vĩ mô.
Cơ sở lý thuyết cơ bản: các định luật Newton,
hệ các phương trình Maxwell.
Th?i gian: tru?c cu?i TK 19
Vật lý Lượng tử ?
Th?i gian: cu?i TK 19 d?u TK 20
Đối tượng nghiên cứu: vật thể vi mô (kích thước bậc nguyên tử).
Giải thích các hiện tượng mà Vật lý Cổ điển bó tay, trên cơ sở lý thuyết về:
4
+ lưỡng tính sóng - hạt của bức xạ và hạt vi mô
+ phương trình Schrodinger
+ sự gián đoạn của năng lượng
+ hiệu ứng đường ngầm
+ nguyên lý bất định Heisenberg
+ nguyên lý loại trừ Pauli
+ Spin của hạt vi mô
Vật lý Lượng tử + Thuyết tương đối =
= Cuộc cách mạng Vật lý thế kỷ 20
là cơ sở khoạ học cho nhiều lĩnh vực Công nghệ cao:
CN thông tin, CN Điện tử- Viễn thông, CN nanô.
Vật lý Cổ điển có sai không?
Không sai - Hoàn toàn đúng với vật thể Vĩ MÔ.
5
Chương 0
I. tính chất hạt của bức xạ
1.1 Giả thuyết Planck (1900)
Bức xạ của vật đen theo quan niệm cổ điển
- Mật độ năng lượng bức xạ toàn phần
(1)
- Mật độ năng lượng bức xạ đơn sắc tần số ?
(2)
6
mà
(3)
trong đó hằng số Boltzmann k = 1,38.10-23 J/ K.
Công thức Rayleigh - Jeans: (4)
Sự thất bại của Rayleigh-
Jeans ở vùng tử ngoại !
Hình 1.1
So sánh công thức Rayleigh-
Jeans với kết quả thực nghiệm
7
Theo Reileigh - Jeans thì
(5) VÔ Lý!
Giả thuyết lượng tử Planck
Mọi trạng thái của bức xạ điện từ đơn sắc tần số ? đều chỉ
có thể có năng lượng là bội số của h? gọi là lượng tử năng
lượng
(6)
trong đó: n là số nguyên, hằng số Planck
h = 6,63. 10-34 Js = 4,14.10-15 eVs
8
Bức xạ của vật đen theo giả thuyết Planck
- Năng lượng trung bình của trạng thái bức xạ tần số? được tính bằng áp dụng giả thuyết Planck:
ở T, trạng thái bức xạ ??(n) có xác suất
(7)
Do đó
(8)
mà ta có
9
(9)
cuối cùng
(10)
Mật độ năng lượng bức xạ đơn sắc theo Planck:
(11)
10
- Mật độ năng lượng bức xạ toàn phần:
(12)
Các trường hợp đặc biệt của công thức Planck
h? <
Đó là công thức Rayleich-
Jeans
b) h? >>?kT
11
1.2 Thuyết lượng tử ánh sáng (thuyết photon)
Einstein thừa nhận tính chất HạT của ánh sáng:
ánh sáng là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng hay
photon. Các photon này chuyển động với vận tốc v = c trong
mọi hệ quy chiếu quán tính.
ánh sáng đơn sắc tần số ?, vectơ sóng ? photon E,
ngoài ra:
(11)
12
Suy ra:
Giữa E và p có hệ thức:
E = p.c (12)
vì
(11`)
13
1.3. Vận dụng thuyết photon giải thích một số hiệu ứng
Hiệu ứng quang điện theo quan điểm thuyết photon
a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà vật lý cổ điển không giải thích được:
- Hiệu ứng chỉ xảy ra khi ?as`> ?0, không phụ thuộc Ias`.
- I (dòng quang điện bão hoà) ? I (ánh sáng chiếu vào kim loại)
b) Theo quan điểm thuyết photon:
Photon va chạm và truyền năng lượng cho e ? bứt e khỏi mặt kim loại.
- thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng:
(13)
14
v?i l� tần số ngưỡng, ph? thu?c KL
Số điện tử bứt ra ? số pho ton
? ?
I dòng quang điện ? I ánh sáng chiếu vào kim loại
+ V?n t?c c?a ộ ch? ph? thu?c t?n s? AS, ko v�o cu?ng d?.
+ Điện thế hãm T?
? xỏc d?nh h t? s? ph? thu?c V0 v�o ? trong KL nh?t d?nh
Hiệu ứng Compton theo thuyết photon
a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà VLCD không giải thích được
(14)
(15)
15
Chiếu tia X bước sóng ? vào bia graphit T
Tia X tán xạ có hai cực đại tại ? và ?` > ?
?? = ?` - ? phụ thuộc góc quan sát tia tán xạ ?.
b) Theo quan điểm thuyết photon
là bàI toán
va chạm đàn
hồi gĩưa hai
hạt: photon và
ộ ? đồng thời
thoả mãn hai
định luật bảo
toàn E và p.
16
Trước tán xạ Sau tán xạ
Pho ton p; ? = cp p` ; ?` = cp`
Điện tử pe = 0 ; mec2
áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng toàn phần
17
suy ra
từ hai phương trình này suy ra
18
pp` (1- cos? ) = mec(p - p`)
trong đó ? là góc tán xạ; giữa và .
Sử dụng
mà ? và
Ta có
(16)
đặt
(17)
?c là độ dài Compton.
19
- Công thức Compton
hoàn toàn phù hợp với thí nghiệm.
Rõ ràng là ?? chỉ phụ thuộc ?, không phụ thuộc ? tới và bản
chất bia T.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Nguyên nhân nào dẫn đến biểu thức ?? (Planck) ? ?? (cổ điển)
Photon là gì? (Hạt ánh sáng, E? p ? v ? m0 ? )
Bản chất hiện tượng quang điện theo quan điểm vật lý Lượng tử ?
Bản chất hiệu ứng Compton theo quan điểm vật lý lượng tử ? Xét các trường hợp khi ? = 0 và ? = 1800.�
Bài tập 1.1 và 1.2
(18)
20
II. Mẫu nguyên tử của bohr
2.1 Bài toán nguyên tử hydro theo thuyết điện từ cổ điển
Tương đương bài toán chuyển động của một hạt khối lượng m (bằng khối lượng thu gọn của điện tử - hạt nhân), điện tích -e, trong trường xuyên tâm thế năng
Năng lượng
Mômen xung lượng
(1)
(2)
(3)
21
Phương trình chuyển động xuyên tâm
do đó
Từ phương trình (3) và (4) suy ra
Hệ thức giữa E và M
(4)
(5)
(6)
(7)
22
Theo lý thuyết điện từ Maxwell:
điện tử chuyển động tròn có gia tốc luôn phát ra năng lượng (bức xạ):
? phổ liên tục
? năng lượng giảm liên tục, r giảm đến 0 sau 10-10s
(rơi vào hạt nhân, nguyên tử không tồn tại)
Thực nghiệm:
quang phổ vạch
nguyên tử tồn tại bền vững với lớp vỏ điện tử có kích thước lớn hơn kích thước hạt nhân nhiều lần.
? Hạn chế của lý thuyết Maxwell !
23
2.2 Mẫu nguyên tử của Bohr(1913)
Tiên đề:
Mỗi trạng thái của điện tử trong nguyên tử có một năng lượng gián đoạn hoàn toàn xác định. ở trạng thái này điện tử không phát ra bức xạ điện từ.
Điện tử chỉ phát ra bức xạ điện từ dưới dạng 1 photon h? khi chuyển từ trạng thái lượng tử Em sang En thoả mãn
Em - En = h? (8)
Ngược lại khi hấp thụ photon h? , điện tử chuyển từ trạng thái
lượng tử En sang Em có năng lượng Em = h? + En
Quy tắc lượng tử hoá Bohr: là cơ sở để xác định giá trị năng
lượng gián đoạn En trong nguyên tử.
Momen xung lượng quỹ đạo của điện tử phải có các giá trị gián đoạn:
24
(9)
Theo (7), năng lượng của trạng thái trong nguyên tử hydro
(10)
trong đó n = 1, 2, 3, . là số lượng tử của trạng thái đang xét.
(10 a)
Trạng thái cơ bản: có năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1
E1 = - 13,6 eV
25
Từ (8) và (10), tần số ? do điện tử phát ra khi chuyển từ Em ?En
(m > n) là
(11)
Công thức thường dùng là:
(12)
với
(13)
gọi là hằng số Rydberg: R = 1,097.107 m-1 = 0,01097 nm-1.
26
Quang phổ vạch của nguyên tử hydro
Hình 2.1.
Các mức năng
lượng và những
chuyển dời
trong quang
phổ nguyên tử
hydro
Năng lượng eV
n
4
3
2
1
27
Bán kính Bohr: từ (6) và
(14)
thay số với n = 1 : rB = 5,292.10-11m ? 0,053 nm
Năng lượng ion hoá
thay số: EH = 13,6 eV.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Mô tả cấu tạo nguyên tử theo Bohr
Tại sao gọi là mẫu bán cổ điển Bohr?
Trạng thái cơ bản? Trạng thái kích thích?
Bài tập 1.3, 1.4, 1.5.
(15)
28
Chương 1
NH?NG TIấN D? C?A CO H?C LU?NG T?
I. Thuyết De Broglie v? lu?ng tớnh súng- h?t c?a cỏc h?t vi mụ
1.1. Súng De Broglie -1924
Điện tử (ộ) vừa có tính chất hạt, vừa có tính chất sóng giống như ánh sáng: ộ chuyển động tự do với E,p ? lan truyền sóng phẳng đơn sắc t?n s? ?, vộc to súng k liờn h? v?i E, p nhu v?i photon:
? = E / h ; k = 2? P / h ho?c (1)
1.2. Tớnh ch?t c?a súng De Broglie-súng m?i-súng v?t ch?t
i- Bước sóng De Broglie (2)
( vỡ ? = 2?/k)
29
iii- H? th?c tỏn s?c: T? E2 = m2c4 + p2c2 v� (1)
V?i phụton m(ngh?)=0 tacú h? th?c quen thu?c 2? ? = ck
iv- Chu vi qu? d?o trũn c?a ộ cd quanh h?t nhõn ph?i b?ng:
2? r = n ? , n = 1,2,3,.. (4)
ii- V?n t?c nhúm vg chớnh b?ng v?n t?c v c?a chuy?n động của hạt vi mô;
1.3. Kiểm chứng giả thuyết De Broglie
Thí nghiệm Davison-Germer :xác định ?e, nhi?u x? chựm ộ
- tiên đoánE = 54 eV là ?e = 167 pm- do?e = 165 pm (U=54eV)
- b?c tranh nhi?u x? chựm ộ gi?ng tia X
? giả thuyết De Broglie là đúng - điện tử có tính chất sóng, ngay c? v?i 1 ộ.
30
1.4. Di?n t? sóng De Broglie của hạt vi mô
Hàm sóng l� h�m ph?c c?a r v� t .
là cường độ sóng.
lớn ? cường độ sóng lớn ? nhiều điện tử tới.
ý nghĩa thống kê của hàm sóng De Broglie
cường độ sóng ? mật độ điện tử
? xác suất để điện tử đi đến điểm ở thời điểm t.
xác suất định vị trí của hạt vi mô trong yếu tố thể tích dr:
(5)
- là mật độ xác suất- cho biết khả năng tìm thấy hạt vi mô trong 1đơn vi thể tích lõn c?n điểm r tại th?i diểm t.
31
Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng
(hạt vi mô nhất thiết phải nằm trong thể tích V)
(6)
Nếu không thoả mãn (6) thì phải chuẩn hoá để có hàm
sóng chuẩn hoá:
Qu? d?o chuy?n d?ng khụng xỏc d?nh-cỏc h? th?c b?t d?nh Heisenberg:
?x. ?p ? 2?h v� ?E. ?t ? 2?h (7)
32
1.5. Lưỡng tính sóng-hạt của ánh sáng và hạt vi mô
Giống nhau:
Khác nhau:
Với ánh sáng:
Với hạt vi mô:
hoặc với
33
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của điện tử.
Ch?ng minh cỏc tớnh ch?t c?a súng D.Broglie.
Bài tập 2.1 đến 2.6.
34
II. Diễn tả trạng thái hạt vi mô bởi hàm sóng
2.1.Mỗi trạng thái của hạt vi mô được diễn tả bởi HS
Các tuân theo nguyên lý chồng chập trạng thái:
nếu , , . diễn tả trạng thái vật lý khả
dĩ thì
(8)
với Cn là hằng số tuỳ ý cũng diễn tả trạng thái vật lý khả dĩ của
hạt vi mô.
Mật độ xác suất xác định vị trí hạt vi mô
35
thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
V: khoảng không gian mà hạt vi mô chuyển động trong đó.
Không gian vectơ các hàm sóng: là tập hợp mọi của
hạt vi mô - là không gian Hilbert nếu tích vô hướng của hai hàm
sóng được định nghĩa
Trong đó các hàm sóng và có
và giới nội.
(9)
36
N?u: và là trực giao thỡ
Hệ hàm cơ sở là trực giao chuẩn hoá nếu mọi c?p
tho? món dk
Hệ hàm cơ sở là đủ nếu mọi được biểu diễn b?i
và thoả mãn
Nếu r = r` ?
(10)
(11)
(12)
37
Trong đó: cn(t) là các thành phần của một vectơ trong không
gian vectơ vô số chiều hoàn toàn xác định và hoàn
toàn được xác định bởi .
là hệ hàm cơ sở trong không gian Hilbert các hàm sóng.
1
Theo (11) v� (13), chuỗi hệ số cn(t) và hàm sóng là hai biểu diễn khác nhau của cùng một trạng thái c?a h?t vi mô. N?u tr?ng thỏi c?a h?t vi mụ du?c bi?u di?n b?ng chu?i cn(t) thỡ xỏc su?t tỡm th?y h?t ? trong tr?ng thỏi ?n(r) l� |cn(t) |2
(13)
38
TD: xột hạt tự do, trạng thái v?i xung lu?ng p xỏc d?nh được diễn tả bởi sóng phẳng đơn sắc cú d?ng
cú th? vi?t l?i
Sử dụng cụng th?c , ch?n C=(2?h)-3/2
thu được
Cỏc h�m ?p(r) n�y tho? món dk chu?n hoỏ v� c? dk d?.
V?y m?t hàm sóng ?p(r,t) bất kỳd?u cú th? tri?n khai trong bi?u di?n to? d? nhu sau:
(14)
39
Ngu?c l?i, cỏc h? s? c(p,t) du?c bi?u di?n qua h�m súng
?(r,t) :
Du?c g?i l� hàm sóng trong biểu diễn xung lượng.
(15)
(16)
40
III. Diễn tả đại lượng vật lý bằng toán tử tuyến tính tự liên hợp. PT.Schrodinger
Toán tử là liên hợp với nếu với mọi cặp , cú
Nếu thì là toán tử tự liên hợp.
3.1. Mỗi đại lượng vật lý trong cơ học cổ điển có 1 toán tử tuyến tính tự liên hợp tương ứng, tác dụng lên hàm sóng trong cơ học lượng tử
(18)
Các hệ thức giao hoán chính tắc - điều kiện lượng tử hoá
Hóy tính
(17)
41
Với mọi , suy ra
(19)
đưa vào dấu móc Poisson lượng tử
Viết lại điều kiện lượng tử hoá
(20)
(21)
(22)
42
3.2. Các hệ thức giữa các toán tử diễn tả các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử có dạng giống như hệ thức giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.
áp dụng tiên đề:
Phương trình Schrodinger - Toán tử năng lượng .
Năng lượng của hạt trong cơ học cổ điển
(21)
Thay thế các đại lượng vật lý cổ điển thành toán tử
(22)
43
Thu được phương trình toán tử
(23)
Tác dụng hai vế lên
(24)
đây là phương trình Schrodinger - phương trình cơ bản của vật
lý lượng tử.
Toán tử năng lượng - Hamitonian:
(25)
44
Phương trình Schrodinger d?ng: dó bi?t
(26)
Nếu V(r) ko phụ thuộc tường minh t , nghiệm (22) có dạng
(27)
trong đó thoả mãn phương trình Schrodinger dừng:
(28)
Hàm sóng là hàm riêng của tương ứng trị riêng E.
Trạng thái diễn tả bởi có năng lượng E xác định gọi là
trạng thái dừng.
45
Toán tử mômen xung lượng
Mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học cổ điển
Toán tử mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học lượng tử
các thành phần
(30)
(29)
46
Toán tử
(31)
Các hệ thức giao hoán
(32)
(33)
47
3.3. Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận
Cho diễn tả đại lượng vật lý A, , liên hệ với nhau
Chọn hệ hàm cơ sở trực giao chuẩn hoá, khai triển
(35)
Các hệ số khai triển
(36)
(34)
48
Hãy biểu diễn c`n qua cn . Dùng (13) và đặt
(37)
Từ (31) thu được
nghĩa là
(38)
49
Ký hiệu và là hai cột
là ma trận
50
Viết lại (34) dưới dạng ma trận
(cột) = (ma trận) (cột)
tính toán giải tích ? tính toán đại số.
IV. Giá trị đo được của các đại lượng vật lý
4.1. Trị riêng của diễn tả đại lượng vật lý A tạo thành phổ các giá trị của đại lượng vật lý A mà ta có thể đo được trong thực nghiệm.
- Vỡ là Hermitic ? trị riêng là thực.
- Phổ cỏc giá trị đo được cú th? gián đoạn/ liên tục/ gián đoạn- liên tục/ dải liên tục tách rời.
- Cỏc giỏ tr? do du?c có thể suy biến. TD mức năng lượng:
v?i 1 giá trị E có nhiều ? độc lập tuyến tính.
(39)
51
4.2. Giá trị trung bình
Toán tử có hệ hàm riêng ?a(r) ứng với trị riêng a
xét trường hợp an gián đoạn:
tại thời điểm t1 đo được a1:
tại thời điểm t2 đo được a2:
Nghĩa là:
(40)
(41)
(42)
52
Điều kiện trực giao chuẩn hoá có dạng
Triển khai theo hệ hàm riêng :
Thay (44) vào (40), dùng (43) thu được
là xác suất để trong phép đo A tại thời điểm t tỡm th?y h?t ? tr?ng thỏi ?n(r) nhận được giá trị an.
Trường hợp giá trị riêng liên tục
(43)
(44)
(45)
(46)
53
4.3. Hàm sóng hệ nhiều hạt
Xét hệ N hạt vi mô m1, m2, .mN chuyển động trong trường thế, tương tác với nhau.
Toạ độ
Xung lượng
Thế năng
Năng lượng toàn phần
(43)
Thay thế
(44)
54
Các hệ thức giao hoán giữa các thành phần r?i và p ?i
(45)
Hamitonian của hệ sau khi thay (44) và (43)
(46)
Hàm sóng của hệ là nghiệm phương trình Schrodinger
(47)
55
Trường hợp V không phụ thuộc tường minh vào t, nghiệm (47) có dạng
là nghiệm của phương trình Schrodinger dừng
chính là hàm riêng của không phụ thuộc t tương ứng trị riêng E
(50)
(48)
(49)
56
Xác suất định vị trí hạt 1 trong thể tích dr1 quanh điểm , hạt 2 trong thể tích dr2 quanh điểm , hạt N trong thể tích drN quanh điểm tại thời điểm t b?ng:
Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng l�:
Nếu các hạt không tương tác với nhau thì :
(51)
(52)
(53)
57
Trong đó, Hamiltonianc?a t?ng h?t chuy?n d?ng trong tru?ng ngo�i l�
Lúc này cú th? tỡm HS duoi d?ng tớch tr?c ti?p c?a N HS c?a t?ng h?t riờng bi?t
mỗi là hàm riêng của
Năng lượng toàn phần của hệ
(54)
(55)
(56)
(57)
58
Xét hệ N hạt vi mô đồng nhất, m?i h?t khối lượng m.
Hamitonian c?a h?
không thay đổi khi hoỏn v? 2 h?t b?t k?
Vỡ h?t vi mụ không thể phân biệt được ? mật độ xác suất không thay đổi khi ta hoỏn v? 2 h?t , nghĩa là
V?i m?i c?p ch? s? ?,?
(58)
59
Khi N hạt không tương tác với nhau: hàm sóng hệ N hạt như
(55), tuy nhiên trong đó , tuy tho? mónPTSch, nhung khụng tho? món dk (58) .
DK (58) d?i v?i mụ dun HS chuyển thành dk v?i chớnh HS
Trong dú giỏ tr? th?a s? pha ei? (? l� s? th?c) ph? thu?c v�o lo?i h?t vi mụ.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Hàm sóng
Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử - các đại lượng trong đó
Chứng minh các hệ thức (28) và (29).
Khi nào năng lượng của hệ E bằng
(59)
60
Chương 2
C�C phương trình, định lý V� D?NH LU?T COB?N suy ra từ các tiên đề của cơ học lượng tử
I. Phương trình chuyển động lu?ng t? Heisenberg
Nghiên cứu sự thay đổi theo thời gian của giá trị TB
Sử dụng phương trình Schrửdinger
(1)
(2)
61
là phương trình chuyển động lượng tử Heisenberg.
(3)
(4)
(5)
(6)
62
Sử dụng dấu móc Poisson
Phương trình chuyển động Heisenberg có dạng
tương tự phương trình Lagrangiơ trong cơ học cổ điển
( L: hàm ; H: năng lượng)
(7)
(8)
(8`)
63
II. Các phương trình chuyển động lượng tử c?a và
Thiết lập phương trình chuyển động của , cho hạt vi
mô kh?i lu?ng m, ch?u tỏc d?ng tru?ng l?c th? nang
Các phương trình Heisenberg cho ,
trong đó
(9)
(10)
(11)
64
Sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc giữa ri và suy ra
Có dạng giống hệt các phương trình trong cơ học cổ điển
Hãy thử lại (12) và (13):
Vì giao hoán nên ta có
(12) ;
(13).
65
Các toán tử diễn tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử tuân theo phương trình có dạng giống trong cơ học cổ điển.
66
III. Các phương trình chuyển động của các giá trị trung bình c?a TT to? d? v� TT xung lu?ng
Lấy giá trị trung bình hai vế các phương trình (12) và (13)
Định lý Ehrenfest
Giá trị trung bình của TT toạ độ ,TTxung lượng
và lực tác dụng lên hạt vi mô tuân theo những định luật
cơ học cổ điển.
(14)
(15)
67
IV. Phương trình liên tục
Mật độ xác suất định vị trí của hạt vi mô
Khảo sát sự biến thiên của mật độ xác suất theo thời gian
(16)
68
Đặt
Phương trình liên tục
Trong đó : mật độ xác suất
: mật độ dòng xác suất
(18) có dạng giống phương trình liên tục khi nghiên cứu cơ học
chất lỏng. là vectơ theo hướng chuyển động của hạt,
có độ lớn bằng xác suất để hạt đi qua một đơn vị diện tích
vuông góc với trong một đơn vị thời gian.
(17)
(18)
69
: mật độ điện tích
: mật độ dòng điện
V. Những đại lượng vật lý đồng thời có giá trị xác định
ở trạng thái đo đại lượng vật lý A, được giá trị An
đồng thời đo đại lượng vật lý B, được giá trị Bn
nghĩa là
Các trạng thái lập thành hệ hàm cơ sở và mọi có
dạng
(19)
và
(21)
(20)
70
Thử tính , dùng (20) và (21)
Các đại lượng vật lý A, B, C. đồng thời có giá trị xác định thì
phải giao hoán với nhau, hoặc
có cùng hàm riêng
Thí dụ
với mọi
và giao hoán
(22)
71
VI. Nguyên lý bất định Heisenberg
T? trờn,n?u hai DLVL A,B khụng d?ng th?i cú giỏ tr? xỏc d?nh thỡ cỏc tt tuong ?ng v?i chỳng khụng giao hoỏn. Khi dú:
G?i tt thang giỏng
HT B?t d?nh Heisb.
Đo đồng thời Lx và Ly hoặc x và Px thì không nhận được các giá trị xác định. Vậy độ chính xác đạt được đến mức nào?
(23)
72
HTBĐ xác định cận dưới của tích 2 phương sai của 2 ĐLVL không đồng thời có giá trị xác định A, B.
Trường hợp = r , = t .HÖ thøc bÊt ®Þnh gi÷a E vµ t:
(24)
?t lớn ? E xác định: trạng thái có E xác định là cân bằng - ổn định.
?t nhỏ ? E bất định: trạng thái có E bất định là không cân bằng.
ý nghĩa : khách quan, bản chất sóng của hạt vi mô.
TD: Tính độ bất định về vận tốc với e trong ng.t./ hạt m=0,1 kg, độ bất định vị trí 10-3m. Nhận xét.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Bài tập: 2.14, 2.15 và 2. 21
73
VII. cỏc d?nh lu?t b?o to�n
Khảo sát các định luật bảo toàn xung lượng, mômen xung lượng, năng lượng trong CHLT
Cơ học cổ điển: đại lượng có đạo hàm theo th?i gian bằng không ? bảo toàn.
Cơ học lượng tử: đại lượng mà toán tử biểu diễn có đạo hàm theo th?i gian bằng không ? bảo toàn.
Từ phương trình lu?ng t? Heisenberg
74
trường hợp không phụ thuộc tường minh t:
Theo định nghĩa, đại lượng A được bảo toàn khi
nghĩa là khi ? đại lượng A được bảo toàn.
(1)
(2)
75
7.1. Định luật bảo toàn xung lượng:
Vì toán tử xung lượng ko phụ thuộc tường minh v�o t nên
Vỡ Nờn
Xung lượng của hạt vi mô là đai lượng bảo to�n
(Liên quan với t/c bất biến của tt H với phép tịnh tiến)
7.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng qu? d?o toàn phần:
Tính toán từ t/c bất biến của tt H với phép quay cho thấy
(3)
(4)
(5)
(6)
76
Vì ko phô thuéc têng minh vào thời gian , nên
do đó
Mômen xung lượng L lµ ®¹i lîng b¶o toµn.
7.3. §Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng
V× lu«n cã
nªn
N¨ng lîng E lµ ®¹i lîng b¶o toµn.
(8)
(9)
(10)
77
7.4. Định luật b¶o toµn tÝnh ch½n lÎ (chØ cã CHLT):
XÐt phÐp nghÞch ®¶o kh«ng gian
®æi dÊu:
kh«ng ®æi dÊu:
Hµm sãng lµ ch½n nÕu
Hµm sãng lµ lÎ nÕu
V× bÊt biÕn víi phÐp biÕn ®æi (11) nªn tÝnh ch½n lÎ cña hµm sãng kh«ng thay ®æi theo thời gian
tÝnh ch½n lÎ ®îc b¶o toµn.
(11)
78
Chương 3
Lí THUY?T LU?NG tử V? mômen xung lượng
I. Toán tử mômen xung lượng quỹ đạo
(1)
79
Các hệ thức giao hoán quan trọng
II. Mụmen xung lu?ng qu? d?o , v� cỏc h�m cầu
Biến đổi
80
thì
2.1. Hàm riêng của và là h�m c?u Ylm(?, ?)
với l = 0,1,2, 3, 4, 5.du?c ký hi?u tuong ?ng l�: s,p,d,f,g,h..
còn m = -l, -l+1, ., l-1, l . ( v?i 1 giỏ tr? l cho tru?c cú
2l+1 giá trị c?a m)
(2)
(3)
(4)
(5)
81
Thí dụ:
2.2. Trị riêng của các toán tử- giỏ tr? c?a L v� Lz
(quy tắc lượng tử hoá của Bohr)
2.3. S? lu?ng t? hoỏ c?a L trong khụng gian.
TD. V?i l=1 thỡ m= 0, 1 v� -1. Vộc to L ch? cú th? cú 3 hu?ng hxỏc d?nh trong khụng gian sao cho Lz = 0, h, - h.
(6)
(7)
(8)
82
III. Spin của hạt vi mô
Các kết quả thí nghiệm thừa nhận điện tử tự nó có mômen
động lượng riêng - spin - các công thức tương tự , chỉ l ? s,
s =1/2.
Hình chiếu lên trục z:
Mômen từ riêng (khi đặt trong từ trường)
(9)
(10)
với
(11)
83
Toán tử Spin của hạt vi mô
Vì các hình chiếu Sx, Sy, Sz chỉ có thể có 2 giá trị thì
phải mô tả bởi ma trận vuông cấp hai, đặt:
Trong đó là các ma trận vuông cấp 2, có trị riêng ?1
- ma trận Pauli. Sử dụng (12), (13) tìm được
(12)
(13)
84
trị riêng của là ?1 ? trị riêng của là
Toán tử :
Tóm lại:
(14)
(15)
(16)
85
IV. Toán tử mômen xung lượng toàn phần
Trị riêng của là ,
j: nguyên, bán nguyên, không âm.
Trị riêng của là : ; Jz có (2j+1) giá trị:
Tập hợp (2j +1) h�m súng ?ng(2j+1) trị riêng khỏc nhau của và v?i cựng m?t trị riêng c?a
? g?i l� m?t đa tuyến:
N?u j = 0 ? 1 hàm sóng, đơn tuyến
j = 1/2 ? 2 hàm sóng, ?ng Jz = 1/2 v� -1/2 ,lưỡng tuyến
j =1 ? 3 hàm sóng, ?ng Jz = 1, 0 v� -1, tam tuyến
(17)
86
Các hệ thức giao hoán
thì giao hoán với mọi
tính toán cho thấy
Mặc dù không giao hoán với nhưng lại giao
hoán với ngay cả khi có tương tác Spin-quỹ đạo ?
(18)
(19)
(20)
(21)
87
Theo phương trình Heisenberg:
thì
là đại lượng được bảo toàn.
Trường hợp hệ nhiều hạt, bất biến với phép quay không
gian thì :
bảo toàn (23)
Mômen từ quỹ đạo do điện tử mang điện tích chuyển động
(22)
(24)
88
với magneton Bohr
Mômen từ riêng
Mômen spin 2 lần hiệu quả hơn trong việc làm phát sinh từ
Mômen từ toàn phần
(25)
(26)
(27)
89
V. Cộng mômen xung lượng
xét hệ hai hạt, b? qua tuong tỏc gi?a chỳng
Hạt 1: j1 , (2j1 + 1) hàm sóng
Hạt 2: j2 , (2j2 + 1) hàm sóng
Mômen xung lượng hệ
trong đó
Hàm sóng hệ
C:h? s? Clebsh-Gordan,th?c,tho? món dk tr?c giao,chu?nhoỏ.
(28)
(29)
(30)
(31)
90
với
với
(35)
Túm l?i: V?i j1 , j2 cho tru?c l?p du?c cỏc HS (31) c?a h? 2 h?t cú MMXLTP j v� hỡnh chi?u ? (35) v?i j(33)l?y cỏc giỏ tr? cỏch nhau 1dv, j(max)= j1+ j2 , j(min)= j1 - j2 . ..M?i j xu?t hi?n 1 l?n. ?ng 1 j cú (2j +1) giỏ tr? khỏc nhau ?. S? HS(31) v?i t?t c? cỏc giỏ tr? kh? di c?a j l� : (2j1 + 1 ) (2j2 + 1 ).
Trường hợp 1 hạt với hai loại bậc tự do khác nhau
Bậc tự do chuyển động quỹ đạo , b?c t? do spin
V?i
V?i
(32)
(33)
(34)
91
có liên kết thì: bảo toàn, có thể không
phải lấy làm số lượng tử trạng thái.
Hệ gồm nhiều điện tử chuyển động trong truờng xuyên tâm:
Tương tác mạnh hơn tương tác Coulomb
sau đó
(jj - coupling)
- Tương tác yếu hơn Coulomb
(LS - coupling)
92
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm phần tính toán hàm riêng, trị riêng của
và
và có thể đo đồng thời. Chứng minh.
có thể đồng thời xác định hay không?
Các giá trị đo được của L, Lz, S, Sz. Các lượng tử số l, m, ms
93
Chương 4
H�M SểNG V� phổ năng lượng C?A M?T S? H? VI Mễ DI?N HèNH
Phổ năng lượng của hạt vi mô - do dạng thế năng quyết định-:Gián đoạn / liên tục / mức gián đoạn - vùng liên tục / vùng liên tục - phân cách bởi vùng cấm.
I. Hạt vi mô trong giếng thế năng
Hạt vi mô m, chuyển động dọc Ox, thế năng V(x)
(1)
94
Giếng thế chữ nhật một chiều
rộng a, cao V0.
Phương trình Schrodinger cho
trạng thái dừng ?(x), năng
lượng E
Hình 8.1
(2)
95
Trường hợp E < V0 :
đặt
Phương trình Schrodinger được viết lại
(3)
(4)
96
Nghiệm tổng quát của phương trình (4) có dạng
Do ?(x) phải giới nội khi x ? ?? nên:
De?x bị loại bỏ trong khoảng x > a/2, Ce?x bị loại bỏ trong
khoảng x < a/2, vì thế (5) có dạng
(5)
(6)
97
xét tính chẵn lẻ của hàm sóng:
hàm chẵn ?ch(x) = ?ch(-x) có dạng
hàm lẻ ?l(x) = -?l(-x) có dạng
(7a)
(7b)
98
Sử dụng điều kiện liên tục của ?(x) và d?(x)/dx tại x= ? a/2
Với ?ch(x) tại x=a/2
Với ?l(x) tại x=-a/2
Giải (8a) và (8b) bằng đồ thị, thay k, ? từ (3) ? số nghiệm E
gián đoạn phụ thuộc V0a2
Nếu thì (8a) có 1 nghiệm, (8b) không có nghiệm.
nếu thì (8a) có 1, (8b) có 1
(8a)
(8b)
99
Nếu thì (8a) có 2 nghiệm, (8b) có một
nghiệm.
Trường hợp E > V0 (hữu hạn)
?(x) giới nội khi x ??? luôn thoả mãn ? E nhận mọi giá trị ?
phổ E liên tục.
Trường hợp V0 ? ?:
? ? do đó
?(x) = 0 khi |x|? a/2 (9)
Sử dụng tính chất liên tục
Suy ra (9a)
100
và
suy ra
Kết hợp cả (9a) và (9b) ta có:
ka = n? , n = 1, 2, 3, .
nghĩa là E có các giá trị gián đoạn
Tóm lại:
Với V0 hữu hạn:+ ph? E gián đoạn khi E < V0
+ ph? E liên tục khi E > V0
+ ? (ngoài giếng) ? 0 .
(9b)
101
Với V0 ? ?: + ph? E gián đoạn, khụng cũn ph? liờn t?c n?a
+ ? (ngoài giếng) = 0. H?t vi mụ b? giam tuy?t d?i trong gi?ng th?nang
Sự lượng tử hoá E xuất hiện do điều kiện biên của phương trình
Schrodinger (Bohr thêm giả thuyết về lượng tử hoá).
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm thế bậc thang, hàng rào thế (P. Q. Tư, Đ. Đ. Thanh, Cơ học lượng tử, trang 77)
Bài tập: 2.7, 2.8, 2.9, 2.12*, 2.16, 2.19, 2.20, 2.21.
102
II. Nguyên tử tựong t? hydro
2.1. Ph? nang lu?ng
Xét chuyển động của một hạt ? (khối lượng thu gọn của dtử
- hạt nhân), điện tích -e, chuyển động trong trường tĩnh điện
của Ze cố định. Chọn gốc tọa độ tại vị trí Ze.
Phương trình Schrodinger
Dùng tọa độ cầu
trong đó
(10)
(11)
103
Vì giao hoán nhau, giao hoán ? xét trạng thái dừng
mà hàm sóng đồng thời là hàm riêng của và :
Tìm nghiệm của phương trình
dưới dạng
(12)
(13)
(14)
(15)
104
Xác định hàm sóng xuyên tâm R(r):
a/ Xét trạng thái liên kết của điện tử: E < 0
đặt
Thay r ? ? = ?r (không thứ nguyên)
(16)
(17)
105
Viết lại (16)
(18) thoả mãn điều kiện hữu hạn ở ? = 0; giới
nội khi ? ? ? nếu và chỉ nếu với số nguyên l đã cho:
- (l+1) = nr ; nr = 0, 1, 2, .
nghĩa là ? = n = nr + l + 1 (19)
Năng lượng gián đoạn có giá trị
(20)
En chỉ phụ thuộc n chứ không phụ thuộc nr , l riêng r?.
n: số lượng tử chính, n = 1, 2, 3, .
(18)
106
Hàm sóng l� tớch c?a h�m c?u v� h�m xuyờn tõm,được đặc trưng bởi ba số lượng tử n, l, m:
Các số lượng tử của nguyên tử hydro
(21)
107
Số trạng thái có cùng n là:
Nghia l� m?c nang lu?ng En suy bi?n b?i n2 theo l v� m.
-Suy bi?n theo l l� dac trung c?a tru?ng Coulomb.
-Suy bi?n theo m l� h? qu? c?a tớnh d?i x?ng c?u c?a th? nang
( tru?ng xuyờn tõm) En ?Enl
b/ Xột trạng thái E > 0:
Phương trình (16) hữu hạn ở r ? 0 và giới nội ở r ? ? với mọi E. Do dú phổ E liên tục.
2.3. H�m súng
Hàm sóng của điện tử trong nguyên tử hydro
TD: R10(r)= 2(z/aB)3/2 exp(-zr/aB)
(22)
108
~ Suy biến theo m là hệ quả của tính chất đối xứng cầu của trường xuyên tâm.
~ khi đặt vào từ trường ngoài , En ? Enlm (mất suy biến theo m).
109
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm quang phổ và sự phân bố điện tử quanh hạt nhân của nguyên tử hydro.
Sự phân bố điện tử và phổ năng lượng trong nguyên tử hydro.
So sánh kết qua cơ học lượng tử với lý thuyết chưa đầy đủ Bohr.
Các lượng tử số n, l, m..
Bài tập 2. 10, 2.11, 2.14, 2.18, 2.20, 2.21.
110
III. Dao động tử điều hoà
Xét chuyển động của hạt vi mô m, chuyển động dọc Ox, thế năng
Trong Cơ học cổ điển hạt này thực hiện dao động điều hoà với
tần số góc
Trong Cơ học lượng tử hệ đó là dao động tử điều hoà.
Phương trình Schrửdinger
(23)
(24)
(25)
111
Đặt
và dùng
ta viết lại phương trình (25)
Hàm sóng giới nội khi x? ?? nếu
? = 2n +1 (28)
n = 0, 1, 2, 3, .
(26)
(27)
112
Năng lượng en của dao động tử điều hoà:
với n=0
là năng lượng th?p nh?t c?a DDTDH- g?i l� NL khụng.
S? t?n t?i nang lu?ng th?p nh?t E0 ch? cú th? lý gi?i trờn co
s? LTLT g?n v?i h? th?c b?t d?nh gi?a to? d? v� xung lu?ng.
- Do gốc năng lượng có thể được lựa chọn một cách tuỳ ý, nên có thể quy ước chọn E0 làm gốc tính năng lượng.
Khi đó, DDTDH ch? cú th? cú nang lu?ng l� b?i s? c?a nang lu?ng h?
? Giả thuyết Planck: NL c?a 1 ddtdh b?ng m?t b?i s? nguyờn c?a lu?ng t? nang lu?ng h?
(29)
(30)
113
Tóm tắt
Các trạng thái dừng của DDTDH có năng lượng gián đoạn cách đều nhau
N?u coi trạng thái ?0 với E0 thấp nhất- khụng ch?a LTNL n�o
Thỡ tr?ng thỏi ?1 với l� k?t qu? c?a vi?c thờm 1 LTNL v�o tr?ng thỏi ?0. ?1 ch?a 1 LTNL
Tr?ng thỏi ?2 với l� k?t qu? c?a vi?c thờm 2 LTNL v�o tr?ng thỏi ?0.. ?2 ch?a 2 LTNL.
.....Tr?ng thỏi ?n nang lu?ng En = n h? ch?a n LTNL.
So sánh v?i CHCD: Emin = 0, h?t ko chuy?n d?ng ? ph?m vi U>E (T<0)
Trong CHLT: , cú xỏc su?t tỡm th?y h?t vi mụ trong vựng E Dú l� đặc trưng quan trọng của hạt vi mô - là kết quả của T/C súng- hệ thức bất định Heisenberg- T v� U ko do du?c chớnh xỏc m?t cỏch d?ng th?i.
114
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm chứng minh để phương trình (27) có nghiệm giới nội khi x ? ?? , ? phải thoả mãn (28).
Bài tập 2.13, 2.17.
Tỡm ph? nang lu?ng c?a DDTDH b?ng phuong phỏp d?i s? qua bi?u di?n s? h?t.
115
IV. Điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể
4.1.Mạng Bravais v� m?ng d?o
Tinh thể là vật thể có cấu trúc bên trong theo quy luật: các hạt phải tự sắp xếp để trên khoảng rất rộng có trật tự cách nhau r0.
Dạng chuyển động duy nhất của hạt là dao động quanh vị trí cân bằng.
Phép tịnh tiến VR : với mọi
Tinh thể có tính bất biến (đối xứng) đối với phép tịnh tiến
theo trục Ox, Oy, Oz nghĩa là mỗi ng.t dời đến ng.t khác cùng loại-tt (vô hạn) sang vị trí trùng khit vị trí cũ
Có nhiều cách chọn hướng, nói chung không vuông góc.
là vectơ ngắn nhất theo mỗi hướng thì
n1, n2, n3 : số nguyên
116
H×nh 8.2 H×nh 8.3
Tinh thÓ bÊt biÕn mµ
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
a1
a2
P
Q
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
(31)
117
tạo thành nhóm tịnh tiến, với quy tắc nhân sau:
? Mạng Bravais: tập hợp các điểm (31) tạo thành mạng
không gian - mạng B - 14 loại mạng B
Nút mạng : đầu mút véc tơ
Vectơ cơ sở của mạng B:
Hằng số mạng:
ô cơ sở là thể tích không gian mà:
* Khi thực hiện mọi phép tịnh tiến (31) thì t?p h?p t?t c? cỏc ụ thu du?c t? ụ ban d?u s? lấp đầy toàn bộ không gian
*M?i ụ ch? ch?a 1 nỳt m?ng
. ô Wigner-Seitz: một trong các cách chọn ô cơ sở nổi tiếng, có đầy đủ tính đối xứng của m?ng Bravais- g?i l� ụ co s? dx?ng
118
M?NG D?O
Xột cỏc vộc to K trong khụng gian vộc to súng tho? món dk:
V?i m?i R xỏc d?nh theo cụng th?c
Di?m cu?i c?a cỏc vộc to nhu th? cung tạo thành mạng trong không gian vectơ sóng - g?i l� mạng đảo
- ễ Wigner c?a m?ng d?o l� vùng Brillonin thứ nhất -B?ng cỏch t?nh tiờn vựng 1.B cỏc do?n b?ng vộc to K c?a m?ng s? thu du?c cỏc vựng B b?c cao.
(32)
(33)
(34)
119
Thí dụ mạng B (thực) mạng đảo
Hằng số mạng a ?
Thể tích ô cơ sở ? ?
4.2.Hàm sóng của điện tử trong trường tuần hoàn
Xét chuyển động của điện tử kh?i lu?ng m trong trường thế V(r) không đổi của tinh thể tuần hoàn
Phương trình Schrodinger
Do tớnh tu?n ho�n c?a tinh th?
(35)
(36)
120
L�m phộp thayth?: r bởi r +R
Sử dụng tính tuần hoàn của thế năng (36) ta có:
Tức là 2 hàm sóng và cùng thoả mãn một phương trình (35= 38). Cú th? x?y ra 2 tru?ng h?p.
a- Trường hợp không suy biến: phải tỉ lệ với . Ta viết
(37)
(38)
(39)
121
Chọn hệ số tỉ lệ dạng v?i ?(r) l� h�m th?c c?a r vì :
? là hàm tuyến tính của , nghĩa là có m?t vộc to mà
Thay vào (39) nhận được dạng hàm sóng
Vật lý Lượng tử
Tài liệu H?C T�P V� tham khảo
1.N.V.Hiệu,N.B.�n,Co s? lý thuy?t c?a vật lý lượng tử, NXB ĐHQGHN, 2003.
2.P.Q.Tư, Đ. Đ. Thanh, Cơ học Lượng tử, NXB ĐHQGHN,2003.
3.N. X. Hãn, Cơ học Lượng tử, NXB ĐHQGHN, 2003.
4.D.Halliday, R.Resnic, J.Walker, Cơ sở Vật lý (T.6. Quang học và Vật lý Lượng tử), NXB Giáo dục dịch, 2002.
2
Nội dung
Chương 1. Những tiên đề của Cơ học lượng tử
Chương 2. Một số phương trình, định lý v� d?nh lu?t
co b?n suy ra từ các tiên đề của Cơ học
lượng tử
Chương 3. Lý thuy?t lu?ng t? v? mômen xung lượng
Chương 4. H�m súng v� ph? nang lu?ng c?a m?t s?
h? vi mụ di?n hỡnh
Chương 5. Lý thuy?t nhi?u lo?n
Chương 6. H? nhi?u h?t d?ng nh?t
3
Mở đầu
Vật lý Cổ điển?
Đối tượng nghiên cứu: vật thể vĩ mô.
Cơ sở lý thuyết cơ bản: các định luật Newton,
hệ các phương trình Maxwell.
Th?i gian: tru?c cu?i TK 19
Vật lý Lượng tử ?
Th?i gian: cu?i TK 19 d?u TK 20
Đối tượng nghiên cứu: vật thể vi mô (kích thước bậc nguyên tử).
Giải thích các hiện tượng mà Vật lý Cổ điển bó tay, trên cơ sở lý thuyết về:
4
+ lưỡng tính sóng - hạt của bức xạ và hạt vi mô
+ phương trình Schrodinger
+ sự gián đoạn của năng lượng
+ hiệu ứng đường ngầm
+ nguyên lý bất định Heisenberg
+ nguyên lý loại trừ Pauli
+ Spin của hạt vi mô
Vật lý Lượng tử + Thuyết tương đối =
= Cuộc cách mạng Vật lý thế kỷ 20
là cơ sở khoạ học cho nhiều lĩnh vực Công nghệ cao:
CN thông tin, CN Điện tử- Viễn thông, CN nanô.
Vật lý Cổ điển có sai không?
Không sai - Hoàn toàn đúng với vật thể Vĩ MÔ.
5
Chương 0
I. tính chất hạt của bức xạ
1.1 Giả thuyết Planck (1900)
Bức xạ của vật đen theo quan niệm cổ điển
- Mật độ năng lượng bức xạ toàn phần
(1)
- Mật độ năng lượng bức xạ đơn sắc tần số ?
(2)
6
mà
(3)
trong đó hằng số Boltzmann k = 1,38.10-23 J/ K.
Công thức Rayleigh - Jeans: (4)
Sự thất bại của Rayleigh-
Jeans ở vùng tử ngoại !
Hình 1.1
So sánh công thức Rayleigh-
Jeans với kết quả thực nghiệm
7
Theo Reileigh - Jeans thì
(5) VÔ Lý!
Giả thuyết lượng tử Planck
Mọi trạng thái của bức xạ điện từ đơn sắc tần số ? đều chỉ
có thể có năng lượng là bội số của h? gọi là lượng tử năng
lượng
(6)
trong đó: n là số nguyên, hằng số Planck
h = 6,63. 10-34 Js = 4,14.10-15 eVs
8
Bức xạ của vật đen theo giả thuyết Planck
- Năng lượng trung bình của trạng thái bức xạ tần số? được tính bằng áp dụng giả thuyết Planck:
ở T, trạng thái bức xạ ??(n) có xác suất
(7)
Do đó
(8)
mà ta có
9
(9)
cuối cùng
(10)
Mật độ năng lượng bức xạ đơn sắc theo Planck:
(11)
10
- Mật độ năng lượng bức xạ toàn phần:
(12)
Các trường hợp đặc biệt của công thức Planck
h? <
Đó là công thức Rayleich-
Jeans
b) h? >>?kT
11
1.2 Thuyết lượng tử ánh sáng (thuyết photon)
Einstein thừa nhận tính chất HạT của ánh sáng:
ánh sáng là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng hay
photon. Các photon này chuyển động với vận tốc v = c trong
mọi hệ quy chiếu quán tính.
ánh sáng đơn sắc tần số ?, vectơ sóng ? photon E,
ngoài ra:
(11)
12
Suy ra:
Giữa E và p có hệ thức:
E = p.c (12)
vì
(11`)
13
1.3. Vận dụng thuyết photon giải thích một số hiệu ứng
Hiệu ứng quang điện theo quan điểm thuyết photon
a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà vật lý cổ điển không giải thích được:
- Hiệu ứng chỉ xảy ra khi ?as`> ?0, không phụ thuộc Ias`.
- I (dòng quang điện bão hoà) ? I (ánh sáng chiếu vào kim loại)
b) Theo quan điểm thuyết photon:
Photon va chạm và truyền năng lượng cho e ? bứt e khỏi mặt kim loại.
- thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng:
(13)
14
v?i l� tần số ngưỡng, ph? thu?c KL
Số điện tử bứt ra ? số pho ton
? ?
I dòng quang điện ? I ánh sáng chiếu vào kim loại
+ V?n t?c c?a ộ ch? ph? thu?c t?n s? AS, ko v�o cu?ng d?.
+ Điện thế hãm T?
? xỏc d?nh h t? s? ph? thu?c V0 v�o ? trong KL nh?t d?nh
Hiệu ứng Compton theo thuyết photon
a) Nhắc lại kết quả thí nghiệm mà VLCD không giải thích được
(14)
(15)
15
Chiếu tia X bước sóng ? vào bia graphit T
Tia X tán xạ có hai cực đại tại ? và ?` > ?
?? = ?` - ? phụ thuộc góc quan sát tia tán xạ ?.
b) Theo quan điểm thuyết photon
là bàI toán
va chạm đàn
hồi gĩưa hai
hạt: photon và
ộ ? đồng thời
thoả mãn hai
định luật bảo
toàn E và p.
16
Trước tán xạ Sau tán xạ
Pho ton p; ? = cp p` ; ?` = cp`
Điện tử pe = 0 ; mec2
áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng toàn phần
17
suy ra
từ hai phương trình này suy ra
18
pp` (1- cos? ) = mec(p - p`)
trong đó ? là góc tán xạ; giữa và .
Sử dụng
mà ? và
Ta có
(16)
đặt
(17)
?c là độ dài Compton.
19
- Công thức Compton
hoàn toàn phù hợp với thí nghiệm.
Rõ ràng là ?? chỉ phụ thuộc ?, không phụ thuộc ? tới và bản
chất bia T.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Nguyên nhân nào dẫn đến biểu thức ?? (Planck) ? ?? (cổ điển)
Photon là gì? (Hạt ánh sáng, E? p ? v ? m0 ? )
Bản chất hiện tượng quang điện theo quan điểm vật lý Lượng tử ?
Bản chất hiệu ứng Compton theo quan điểm vật lý lượng tử ? Xét các trường hợp khi ? = 0 và ? = 1800.�
Bài tập 1.1 và 1.2
(18)
20
II. Mẫu nguyên tử của bohr
2.1 Bài toán nguyên tử hydro theo thuyết điện từ cổ điển
Tương đương bài toán chuyển động của một hạt khối lượng m (bằng khối lượng thu gọn của điện tử - hạt nhân), điện tích -e, trong trường xuyên tâm thế năng
Năng lượng
Mômen xung lượng
(1)
(2)
(3)
21
Phương trình chuyển động xuyên tâm
do đó
Từ phương trình (3) và (4) suy ra
Hệ thức giữa E và M
(4)
(5)
(6)
(7)
22
Theo lý thuyết điện từ Maxwell:
điện tử chuyển động tròn có gia tốc luôn phát ra năng lượng (bức xạ):
? phổ liên tục
? năng lượng giảm liên tục, r giảm đến 0 sau 10-10s
(rơi vào hạt nhân, nguyên tử không tồn tại)
Thực nghiệm:
quang phổ vạch
nguyên tử tồn tại bền vững với lớp vỏ điện tử có kích thước lớn hơn kích thước hạt nhân nhiều lần.
? Hạn chế của lý thuyết Maxwell !
23
2.2 Mẫu nguyên tử của Bohr(1913)
Tiên đề:
Mỗi trạng thái của điện tử trong nguyên tử có một năng lượng gián đoạn hoàn toàn xác định. ở trạng thái này điện tử không phát ra bức xạ điện từ.
Điện tử chỉ phát ra bức xạ điện từ dưới dạng 1 photon h? khi chuyển từ trạng thái lượng tử Em sang En thoả mãn
Em - En = h? (8)
Ngược lại khi hấp thụ photon h? , điện tử chuyển từ trạng thái
lượng tử En sang Em có năng lượng Em = h? + En
Quy tắc lượng tử hoá Bohr: là cơ sở để xác định giá trị năng
lượng gián đoạn En trong nguyên tử.
Momen xung lượng quỹ đạo của điện tử phải có các giá trị gián đoạn:
24
(9)
Theo (7), năng lượng của trạng thái trong nguyên tử hydro
(10)
trong đó n = 1, 2, 3, . là số lượng tử của trạng thái đang xét.
(10 a)
Trạng thái cơ bản: có năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1
E1 = - 13,6 eV
25
Từ (8) và (10), tần số ? do điện tử phát ra khi chuyển từ Em ?En
(m > n) là
(11)
Công thức thường dùng là:
(12)
với
(13)
gọi là hằng số Rydberg: R = 1,097.107 m-1 = 0,01097 nm-1.
26
Quang phổ vạch của nguyên tử hydro
Hình 2.1.
Các mức năng
lượng và những
chuyển dời
trong quang
phổ nguyên tử
hydro
Năng lượng eV
n
4
3
2
1
27
Bán kính Bohr: từ (6) và
(14)
thay số với n = 1 : rB = 5,292.10-11m ? 0,053 nm
Năng lượng ion hoá
thay số: EH = 13,6 eV.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Mô tả cấu tạo nguyên tử theo Bohr
Tại sao gọi là mẫu bán cổ điển Bohr?
Trạng thái cơ bản? Trạng thái kích thích?
Bài tập 1.3, 1.4, 1.5.
(15)
28
Chương 1
NH?NG TIấN D? C?A CO H?C LU?NG T?
I. Thuyết De Broglie v? lu?ng tớnh súng- h?t c?a cỏc h?t vi mụ
1.1. Súng De Broglie -1924
Điện tử (ộ) vừa có tính chất hạt, vừa có tính chất sóng giống như ánh sáng: ộ chuyển động tự do với E,p ? lan truyền sóng phẳng đơn sắc t?n s? ?, vộc to súng k liờn h? v?i E, p nhu v?i photon:
? = E / h ; k = 2? P / h ho?c (1)
1.2. Tớnh ch?t c?a súng De Broglie-súng m?i-súng v?t ch?t
i- Bước sóng De Broglie (2)
( vỡ ? = 2?/k)
29
iii- H? th?c tỏn s?c: T? E2 = m2c4 + p2c2 v� (1)
V?i phụton m(ngh?)=0 tacú h? th?c quen thu?c 2? ? = ck
iv- Chu vi qu? d?o trũn c?a ộ cd quanh h?t nhõn ph?i b?ng:
2? r = n ? , n = 1,2,3,.. (4)
ii- V?n t?c nhúm vg chớnh b?ng v?n t?c v c?a chuy?n động của hạt vi mô;
1.3. Kiểm chứng giả thuyết De Broglie
Thí nghiệm Davison-Germer :xác định ?e, nhi?u x? chựm ộ
- tiên đoánE = 54 eV là ?e = 167 pm- do?e = 165 pm (U=54eV)
- b?c tranh nhi?u x? chựm ộ gi?ng tia X
? giả thuyết De Broglie là đúng - điện tử có tính chất sóng, ngay c? v?i 1 ộ.
30
1.4. Di?n t? sóng De Broglie của hạt vi mô
Hàm sóng l� h�m ph?c c?a r v� t .
là cường độ sóng.
lớn ? cường độ sóng lớn ? nhiều điện tử tới.
ý nghĩa thống kê của hàm sóng De Broglie
cường độ sóng ? mật độ điện tử
? xác suất để điện tử đi đến điểm ở thời điểm t.
xác suất định vị trí của hạt vi mô trong yếu tố thể tích dr:
(5)
- là mật độ xác suất- cho biết khả năng tìm thấy hạt vi mô trong 1đơn vi thể tích lõn c?n điểm r tại th?i diểm t.
31
Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng
(hạt vi mô nhất thiết phải nằm trong thể tích V)
(6)
Nếu không thoả mãn (6) thì phải chuẩn hoá để có hàm
sóng chuẩn hoá:
Qu? d?o chuy?n d?ng khụng xỏc d?nh-cỏc h? th?c b?t d?nh Heisenberg:
?x. ?p ? 2?h v� ?E. ?t ? 2?h (7)
32
1.5. Lưỡng tính sóng-hạt của ánh sáng và hạt vi mô
Giống nhau:
Khác nhau:
Với ánh sáng:
Với hạt vi mô:
hoặc với
33
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của điện tử.
Ch?ng minh cỏc tớnh ch?t c?a súng D.Broglie.
Bài tập 2.1 đến 2.6.
34
II. Diễn tả trạng thái hạt vi mô bởi hàm sóng
2.1.Mỗi trạng thái của hạt vi mô được diễn tả bởi HS
Các tuân theo nguyên lý chồng chập trạng thái:
nếu , , . diễn tả trạng thái vật lý khả
dĩ thì
(8)
với Cn là hằng số tuỳ ý cũng diễn tả trạng thái vật lý khả dĩ của
hạt vi mô.
Mật độ xác suất xác định vị trí hạt vi mô
35
thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
V: khoảng không gian mà hạt vi mô chuyển động trong đó.
Không gian vectơ các hàm sóng: là tập hợp mọi của
hạt vi mô - là không gian Hilbert nếu tích vô hướng của hai hàm
sóng được định nghĩa
Trong đó các hàm sóng và có
và giới nội.
(9)
36
N?u: và là trực giao thỡ
Hệ hàm cơ sở là trực giao chuẩn hoá nếu mọi c?p
tho? món dk
Hệ hàm cơ sở là đủ nếu mọi được biểu diễn b?i
và thoả mãn
Nếu r = r` ?
(10)
(11)
(12)
37
Trong đó: cn(t) là các thành phần của một vectơ trong không
gian vectơ vô số chiều hoàn toàn xác định và hoàn
toàn được xác định bởi .
là hệ hàm cơ sở trong không gian Hilbert các hàm sóng.
1
Theo (11) v� (13), chuỗi hệ số cn(t) và hàm sóng là hai biểu diễn khác nhau của cùng một trạng thái c?a h?t vi mô. N?u tr?ng thỏi c?a h?t vi mụ du?c bi?u di?n b?ng chu?i cn(t) thỡ xỏc su?t tỡm th?y h?t ? trong tr?ng thỏi ?n(r) l� |cn(t) |2
(13)
38
TD: xột hạt tự do, trạng thái v?i xung lu?ng p xỏc d?nh được diễn tả bởi sóng phẳng đơn sắc cú d?ng
cú th? vi?t l?i
Sử dụng cụng th?c , ch?n C=(2?h)-3/2
thu được
Cỏc h�m ?p(r) n�y tho? món dk chu?n hoỏ v� c? dk d?.
V?y m?t hàm sóng ?p(r,t) bất kỳd?u cú th? tri?n khai trong bi?u di?n to? d? nhu sau:
(14)
39
Ngu?c l?i, cỏc h? s? c(p,t) du?c bi?u di?n qua h�m súng
?(r,t) :
Du?c g?i l� hàm sóng trong biểu diễn xung lượng.
(15)
(16)
40
III. Diễn tả đại lượng vật lý bằng toán tử tuyến tính tự liên hợp. PT.Schrodinger
Toán tử là liên hợp với nếu với mọi cặp , cú
Nếu thì là toán tử tự liên hợp.
3.1. Mỗi đại lượng vật lý trong cơ học cổ điển có 1 toán tử tuyến tính tự liên hợp tương ứng, tác dụng lên hàm sóng trong cơ học lượng tử
(18)
Các hệ thức giao hoán chính tắc - điều kiện lượng tử hoá
Hóy tính
(17)
41
Với mọi , suy ra
(19)
đưa vào dấu móc Poisson lượng tử
Viết lại điều kiện lượng tử hoá
(20)
(21)
(22)
42
3.2. Các hệ thức giữa các toán tử diễn tả các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử có dạng giống như hệ thức giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.
áp dụng tiên đề:
Phương trình Schrodinger - Toán tử năng lượng .
Năng lượng của hạt trong cơ học cổ điển
(21)
Thay thế các đại lượng vật lý cổ điển thành toán tử
(22)
43
Thu được phương trình toán tử
(23)
Tác dụng hai vế lên
(24)
đây là phương trình Schrodinger - phương trình cơ bản của vật
lý lượng tử.
Toán tử năng lượng - Hamitonian:
(25)
44
Phương trình Schrodinger d?ng: dó bi?t
(26)
Nếu V(r) ko phụ thuộc tường minh t , nghiệm (22) có dạng
(27)
trong đó thoả mãn phương trình Schrodinger dừng:
(28)
Hàm sóng là hàm riêng của tương ứng trị riêng E.
Trạng thái diễn tả bởi có năng lượng E xác định gọi là
trạng thái dừng.
45
Toán tử mômen xung lượng
Mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học cổ điển
Toán tử mômen xung lượng quỹ đạo trong cơ học lượng tử
các thành phần
(30)
(29)
46
Toán tử
(31)
Các hệ thức giao hoán
(32)
(33)
47
3.3. Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận
Cho diễn tả đại lượng vật lý A, , liên hệ với nhau
Chọn hệ hàm cơ sở trực giao chuẩn hoá, khai triển
(35)
Các hệ số khai triển
(36)
(34)
48
Hãy biểu diễn c`n qua cn . Dùng (13) và đặt
(37)
Từ (31) thu được
nghĩa là
(38)
49
Ký hiệu và là hai cột
là ma trận
50
Viết lại (34) dưới dạng ma trận
(cột) = (ma trận) (cột)
tính toán giải tích ? tính toán đại số.
IV. Giá trị đo được của các đại lượng vật lý
4.1. Trị riêng của diễn tả đại lượng vật lý A tạo thành phổ các giá trị của đại lượng vật lý A mà ta có thể đo được trong thực nghiệm.
- Vỡ là Hermitic ? trị riêng là thực.
- Phổ cỏc giá trị đo được cú th? gián đoạn/ liên tục/ gián đoạn- liên tục/ dải liên tục tách rời.
- Cỏc giỏ tr? do du?c có thể suy biến. TD mức năng lượng:
v?i 1 giá trị E có nhiều ? độc lập tuyến tính.
(39)
51
4.2. Giá trị trung bình
Toán tử có hệ hàm riêng ?a(r) ứng với trị riêng a
xét trường hợp an gián đoạn:
tại thời điểm t1 đo được a1:
tại thời điểm t2 đo được a2:
Nghĩa là:
(40)
(41)
(42)
52
Điều kiện trực giao chuẩn hoá có dạng
Triển khai theo hệ hàm riêng :
Thay (44) vào (40), dùng (43) thu được
là xác suất để trong phép đo A tại thời điểm t tỡm th?y h?t ? tr?ng thỏi ?n(r) nhận được giá trị an.
Trường hợp giá trị riêng liên tục
(43)
(44)
(45)
(46)
53
4.3. Hàm sóng hệ nhiều hạt
Xét hệ N hạt vi mô m1, m2, .mN chuyển động trong trường thế, tương tác với nhau.
Toạ độ
Xung lượng
Thế năng
Năng lượng toàn phần
(43)
Thay thế
(44)
54
Các hệ thức giao hoán giữa các thành phần r?i và p ?i
(45)
Hamitonian của hệ sau khi thay (44) và (43)
(46)
Hàm sóng của hệ là nghiệm phương trình Schrodinger
(47)
55
Trường hợp V không phụ thuộc tường minh vào t, nghiệm (47) có dạng
là nghiệm của phương trình Schrodinger dừng
chính là hàm riêng của không phụ thuộc t tương ứng trị riêng E
(50)
(48)
(49)
56
Xác suất định vị trí hạt 1 trong thể tích dr1 quanh điểm , hạt 2 trong thể tích dr2 quanh điểm , hạt N trong thể tích drN quanh điểm tại thời điểm t b?ng:
Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng l�:
Nếu các hạt không tương tác với nhau thì :
(51)
(52)
(53)
57
Trong đó, Hamiltonianc?a t?ng h?t chuy?n d?ng trong tru?ng ngo�i l�
Lúc này cú th? tỡm HS duoi d?ng tớch tr?c ti?p c?a N HS c?a t?ng h?t riờng bi?t
mỗi là hàm riêng của
Năng lượng toàn phần của hệ
(54)
(55)
(56)
(57)
58
Xét hệ N hạt vi mô đồng nhất, m?i h?t khối lượng m.
Hamitonian c?a h?
không thay đổi khi hoỏn v? 2 h?t b?t k?
Vỡ h?t vi mụ không thể phân biệt được ? mật độ xác suất không thay đổi khi ta hoỏn v? 2 h?t , nghĩa là
V?i m?i c?p ch? s? ?,?
(58)
59
Khi N hạt không tương tác với nhau: hàm sóng hệ N hạt như
(55), tuy nhiên trong đó , tuy tho? mónPTSch, nhung khụng tho? món dk (58) .
DK (58) d?i v?i mụ dun HS chuyển thành dk v?i chớnh HS
Trong dú giỏ tr? th?a s? pha ei? (? l� s? th?c) ph? thu?c v�o lo?i h?t vi mụ.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Hàm sóng
Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử - các đại lượng trong đó
Chứng minh các hệ thức (28) và (29).
Khi nào năng lượng của hệ E bằng
(59)
60
Chương 2
C�C phương trình, định lý V� D?NH LU?T COB?N suy ra từ các tiên đề của cơ học lượng tử
I. Phương trình chuyển động lu?ng t? Heisenberg
Nghiên cứu sự thay đổi theo thời gian của giá trị TB
Sử dụng phương trình Schrửdinger
(1)
(2)
61
là phương trình chuyển động lượng tử Heisenberg.
(3)
(4)
(5)
(6)
62
Sử dụng dấu móc Poisson
Phương trình chuyển động Heisenberg có dạng
tương tự phương trình Lagrangiơ trong cơ học cổ điển
( L: hàm ; H: năng lượng)
(7)
(8)
(8`)
63
II. Các phương trình chuyển động lượng tử c?a và
Thiết lập phương trình chuyển động của , cho hạt vi
mô kh?i lu?ng m, ch?u tỏc d?ng tru?ng l?c th? nang
Các phương trình Heisenberg cho ,
trong đó
(9)
(10)
(11)
64
Sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc giữa ri và suy ra
Có dạng giống hệt các phương trình trong cơ học cổ điển
Hãy thử lại (12) và (13):
Vì giao hoán nên ta có
(12) ;
(13).
65
Các toán tử diễn tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử tuân theo phương trình có dạng giống trong cơ học cổ điển.
66
III. Các phương trình chuyển động của các giá trị trung bình c?a TT to? d? v� TT xung lu?ng
Lấy giá trị trung bình hai vế các phương trình (12) và (13)
Định lý Ehrenfest
Giá trị trung bình của TT toạ độ ,TTxung lượng
và lực tác dụng lên hạt vi mô tuân theo những định luật
cơ học cổ điển.
(14)
(15)
67
IV. Phương trình liên tục
Mật độ xác suất định vị trí của hạt vi mô
Khảo sát sự biến thiên của mật độ xác suất theo thời gian
(16)
68
Đặt
Phương trình liên tục
Trong đó : mật độ xác suất
: mật độ dòng xác suất
(18) có dạng giống phương trình liên tục khi nghiên cứu cơ học
chất lỏng. là vectơ theo hướng chuyển động của hạt,
có độ lớn bằng xác suất để hạt đi qua một đơn vị diện tích
vuông góc với trong một đơn vị thời gian.
(17)
(18)
69
: mật độ điện tích
: mật độ dòng điện
V. Những đại lượng vật lý đồng thời có giá trị xác định
ở trạng thái đo đại lượng vật lý A, được giá trị An
đồng thời đo đại lượng vật lý B, được giá trị Bn
nghĩa là
Các trạng thái lập thành hệ hàm cơ sở và mọi có
dạng
(19)
và
(21)
(20)
70
Thử tính , dùng (20) và (21)
Các đại lượng vật lý A, B, C. đồng thời có giá trị xác định thì
phải giao hoán với nhau, hoặc
có cùng hàm riêng
Thí dụ
với mọi
và giao hoán
(22)
71
VI. Nguyên lý bất định Heisenberg
T? trờn,n?u hai DLVL A,B khụng d?ng th?i cú giỏ tr? xỏc d?nh thỡ cỏc tt tuong ?ng v?i chỳng khụng giao hoỏn. Khi dú:
G?i tt thang giỏng
HT B?t d?nh Heisb.
Đo đồng thời Lx và Ly hoặc x và Px thì không nhận được các giá trị xác định. Vậy độ chính xác đạt được đến mức nào?
(23)
72
HTBĐ xác định cận dưới của tích 2 phương sai của 2 ĐLVL không đồng thời có giá trị xác định A, B.
Trường hợp = r , = t .HÖ thøc bÊt ®Þnh gi÷a E vµ t:
(24)
?t lớn ? E xác định: trạng thái có E xác định là cân bằng - ổn định.
?t nhỏ ? E bất định: trạng thái có E bất định là không cân bằng.
ý nghĩa : khách quan, bản chất sóng của hạt vi mô.
TD: Tính độ bất định về vận tốc với e trong ng.t./ hạt m=0,1 kg, độ bất định vị trí 10-3m. Nhận xét.
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Bài tập: 2.14, 2.15 và 2. 21
73
VII. cỏc d?nh lu?t b?o to�n
Khảo sát các định luật bảo toàn xung lượng, mômen xung lượng, năng lượng trong CHLT
Cơ học cổ điển: đại lượng có đạo hàm theo th?i gian bằng không ? bảo toàn.
Cơ học lượng tử: đại lượng mà toán tử biểu diễn có đạo hàm theo th?i gian bằng không ? bảo toàn.
Từ phương trình lu?ng t? Heisenberg
74
trường hợp không phụ thuộc tường minh t:
Theo định nghĩa, đại lượng A được bảo toàn khi
nghĩa là khi ? đại lượng A được bảo toàn.
(1)
(2)
75
7.1. Định luật bảo toàn xung lượng:
Vì toán tử xung lượng ko phụ thuộc tường minh v�o t nên
Vỡ Nờn
Xung lượng của hạt vi mô là đai lượng bảo to�n
(Liên quan với t/c bất biến của tt H với phép tịnh tiến)
7.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng qu? d?o toàn phần:
Tính toán từ t/c bất biến của tt H với phép quay cho thấy
(3)
(4)
(5)
(6)
76
Vì ko phô thuéc têng minh vào thời gian , nên
do đó
Mômen xung lượng L lµ ®¹i lîng b¶o toµn.
7.3. §Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng
V× lu«n cã
nªn
N¨ng lîng E lµ ®¹i lîng b¶o toµn.
(8)
(9)
(10)
77
7.4. Định luật b¶o toµn tÝnh ch½n lÎ (chØ cã CHLT):
XÐt phÐp nghÞch ®¶o kh«ng gian
®æi dÊu:
kh«ng ®æi dÊu:
Hµm sãng lµ ch½n nÕu
Hµm sãng lµ lÎ nÕu
V× bÊt biÕn víi phÐp biÕn ®æi (11) nªn tÝnh ch½n lÎ cña hµm sãng kh«ng thay ®æi theo thời gian
tÝnh ch½n lÎ ®îc b¶o toµn.
(11)
78
Chương 3
Lí THUY?T LU?NG tử V? mômen xung lượng
I. Toán tử mômen xung lượng quỹ đạo
(1)
79
Các hệ thức giao hoán quan trọng
II. Mụmen xung lu?ng qu? d?o , v� cỏc h�m cầu
Biến đổi
80
thì
2.1. Hàm riêng của và là h�m c?u Ylm(?, ?)
với l = 0,1,2, 3, 4, 5.du?c ký hi?u tuong ?ng l�: s,p,d,f,g,h..
còn m = -l, -l+1, ., l-1, l . ( v?i 1 giỏ tr? l cho tru?c cú
2l+1 giá trị c?a m)
(2)
(3)
(4)
(5)
81
Thí dụ:
2.2. Trị riêng của các toán tử- giỏ tr? c?a L v� Lz
(quy tắc lượng tử hoá của Bohr)
2.3. S? lu?ng t? hoỏ c?a L trong khụng gian.
TD. V?i l=1 thỡ m= 0, 1 v� -1. Vộc to L ch? cú th? cú 3 hu?ng hxỏc d?nh trong khụng gian sao cho Lz = 0, h, - h.
(6)
(7)
(8)
82
III. Spin của hạt vi mô
Các kết quả thí nghiệm thừa nhận điện tử tự nó có mômen
động lượng riêng - spin - các công thức tương tự , chỉ l ? s,
s =1/2.
Hình chiếu lên trục z:
Mômen từ riêng (khi đặt trong từ trường)
(9)
(10)
với
(11)
83
Toán tử Spin của hạt vi mô
Vì các hình chiếu Sx, Sy, Sz chỉ có thể có 2 giá trị thì
phải mô tả bởi ma trận vuông cấp hai, đặt:
Trong đó là các ma trận vuông cấp 2, có trị riêng ?1
- ma trận Pauli. Sử dụng (12), (13) tìm được
(12)
(13)
84
trị riêng của là ?1 ? trị riêng của là
Toán tử :
Tóm lại:
(14)
(15)
(16)
85
IV. Toán tử mômen xung lượng toàn phần
Trị riêng của là ,
j: nguyên, bán nguyên, không âm.
Trị riêng của là : ; Jz có (2j+1) giá trị:
Tập hợp (2j +1) h�m súng ?ng(2j+1) trị riêng khỏc nhau của và v?i cựng m?t trị riêng c?a
? g?i l� m?t đa tuyến:
N?u j = 0 ? 1 hàm sóng, đơn tuyến
j = 1/2 ? 2 hàm sóng, ?ng Jz = 1/2 v� -1/2 ,lưỡng tuyến
j =1 ? 3 hàm sóng, ?ng Jz = 1, 0 v� -1, tam tuyến
(17)
86
Các hệ thức giao hoán
thì giao hoán với mọi
tính toán cho thấy
Mặc dù không giao hoán với nhưng lại giao
hoán với ngay cả khi có tương tác Spin-quỹ đạo ?
(18)
(19)
(20)
(21)
87
Theo phương trình Heisenberg:
thì
là đại lượng được bảo toàn.
Trường hợp hệ nhiều hạt, bất biến với phép quay không
gian thì :
bảo toàn (23)
Mômen từ quỹ đạo do điện tử mang điện tích chuyển động
(22)
(24)
88
với magneton Bohr
Mômen từ riêng
Mômen spin 2 lần hiệu quả hơn trong việc làm phát sinh từ
Mômen từ toàn phần
(25)
(26)
(27)
89
V. Cộng mômen xung lượng
xét hệ hai hạt, b? qua tuong tỏc gi?a chỳng
Hạt 1: j1 , (2j1 + 1) hàm sóng
Hạt 2: j2 , (2j2 + 1) hàm sóng
Mômen xung lượng hệ
trong đó
Hàm sóng hệ
C:h? s? Clebsh-Gordan,th?c,tho? món dk tr?c giao,chu?nhoỏ.
(28)
(29)
(30)
(31)
90
với
với
(35)
Túm l?i: V?i j1 , j2 cho tru?c l?p du?c cỏc HS (31) c?a h? 2 h?t cú MMXLTP j v� hỡnh chi?u ? (35) v?i j(33)l?y cỏc giỏ tr? cỏch nhau 1dv, j(max)= j1+ j2 , j(min)= j1 - j2 . ..M?i j xu?t hi?n 1 l?n. ?ng 1 j cú (2j +1) giỏ tr? khỏc nhau ?. S? HS(31) v?i t?t c? cỏc giỏ tr? kh? di c?a j l� : (2j1 + 1 ) (2j2 + 1 ).
Trường hợp 1 hạt với hai loại bậc tự do khác nhau
Bậc tự do chuyển động quỹ đạo , b?c t? do spin
V?i
V?i
(32)
(33)
(34)
91
có liên kết thì: bảo toàn, có thể không
phải lấy làm số lượng tử trạng thái.
Hệ gồm nhiều điện tử chuyển động trong truờng xuyên tâm:
Tương tác mạnh hơn tương tác Coulomb
sau đó
(jj - coupling)
- Tương tác yếu hơn Coulomb
(LS - coupling)
92
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm phần tính toán hàm riêng, trị riêng của
và
và có thể đo đồng thời. Chứng minh.
có thể đồng thời xác định hay không?
Các giá trị đo được của L, Lz, S, Sz. Các lượng tử số l, m, ms
93
Chương 4
H�M SểNG V� phổ năng lượng C?A M?T S? H? VI Mễ DI?N HèNH
Phổ năng lượng của hạt vi mô - do dạng thế năng quyết định-:Gián đoạn / liên tục / mức gián đoạn - vùng liên tục / vùng liên tục - phân cách bởi vùng cấm.
I. Hạt vi mô trong giếng thế năng
Hạt vi mô m, chuyển động dọc Ox, thế năng V(x)
(1)
94
Giếng thế chữ nhật một chiều
rộng a, cao V0.
Phương trình Schrodinger cho
trạng thái dừng ?(x), năng
lượng E
Hình 8.1
(2)
95
Trường hợp E < V0 :
đặt
Phương trình Schrodinger được viết lại
(3)
(4)
96
Nghiệm tổng quát của phương trình (4) có dạng
Do ?(x) phải giới nội khi x ? ?? nên:
De?x bị loại bỏ trong khoảng x > a/2, Ce?x bị loại bỏ trong
khoảng x < a/2, vì thế (5) có dạng
(5)
(6)
97
xét tính chẵn lẻ của hàm sóng:
hàm chẵn ?ch(x) = ?ch(-x) có dạng
hàm lẻ ?l(x) = -?l(-x) có dạng
(7a)
(7b)
98
Sử dụng điều kiện liên tục của ?(x) và d?(x)/dx tại x= ? a/2
Với ?ch(x) tại x=a/2
Với ?l(x) tại x=-a/2
Giải (8a) và (8b) bằng đồ thị, thay k, ? từ (3) ? số nghiệm E
gián đoạn phụ thuộc V0a2
Nếu thì (8a) có 1 nghiệm, (8b) không có nghiệm.
nếu thì (8a) có 1, (8b) có 1
(8a)
(8b)
99
Nếu thì (8a) có 2 nghiệm, (8b) có một
nghiệm.
Trường hợp E > V0 (hữu hạn)
?(x) giới nội khi x ??? luôn thoả mãn ? E nhận mọi giá trị ?
phổ E liên tục.
Trường hợp V0 ? ?:
? ? do đó
?(x) = 0 khi |x|? a/2 (9)
Sử dụng tính chất liên tục
Suy ra (9a)
100
và
suy ra
Kết hợp cả (9a) và (9b) ta có:
ka = n? , n = 1, 2, 3, .
nghĩa là E có các giá trị gián đoạn
Tóm lại:
Với V0 hữu hạn:+ ph? E gián đoạn khi E < V0
+ ph? E liên tục khi E > V0
+ ? (ngoài giếng) ? 0 .
(9b)
101
Với V0 ? ?: + ph? E gián đoạn, khụng cũn ph? liờn t?c n?a
+ ? (ngoài giếng) = 0. H?t vi mụ b? giam tuy?t d?i trong gi?ng th?nang
Sự lượng tử hoá E xuất hiện do điều kiện biên của phương trình
Schrodinger (Bohr thêm giả thuyết về lượng tử hoá).
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm thế bậc thang, hàng rào thế (P. Q. Tư, Đ. Đ. Thanh, Cơ học lượng tử, trang 77)
Bài tập: 2.7, 2.8, 2.9, 2.12*, 2.16, 2.19, 2.20, 2.21.
102
II. Nguyên tử tựong t? hydro
2.1. Ph? nang lu?ng
Xét chuyển động của một hạt ? (khối lượng thu gọn của dtử
- hạt nhân), điện tích -e, chuyển động trong trường tĩnh điện
của Ze cố định. Chọn gốc tọa độ tại vị trí Ze.
Phương trình Schrodinger
Dùng tọa độ cầu
trong đó
(10)
(11)
103
Vì giao hoán nhau, giao hoán ? xét trạng thái dừng
mà hàm sóng đồng thời là hàm riêng của và :
Tìm nghiệm của phương trình
dưới dạng
(12)
(13)
(14)
(15)
104
Xác định hàm sóng xuyên tâm R(r):
a/ Xét trạng thái liên kết của điện tử: E < 0
đặt
Thay r ? ? = ?r (không thứ nguyên)
(16)
(17)
105
Viết lại (16)
(18) thoả mãn điều kiện hữu hạn ở ? = 0; giới
nội khi ? ? ? nếu và chỉ nếu với số nguyên l đã cho:
- (l+1) = nr ; nr = 0, 1, 2, .
nghĩa là ? = n = nr + l + 1 (19)
Năng lượng gián đoạn có giá trị
(20)
En chỉ phụ thuộc n chứ không phụ thuộc nr , l riêng r?.
n: số lượng tử chính, n = 1, 2, 3, .
(18)
106
Hàm sóng l� tớch c?a h�m c?u v� h�m xuyờn tõm,được đặc trưng bởi ba số lượng tử n, l, m:
Các số lượng tử của nguyên tử hydro
(21)
107
Số trạng thái có cùng n là:
Nghia l� m?c nang lu?ng En suy bi?n b?i n2 theo l v� m.
-Suy bi?n theo l l� dac trung c?a tru?ng Coulomb.
-Suy bi?n theo m l� h? qu? c?a tớnh d?i x?ng c?u c?a th? nang
( tru?ng xuyờn tõm) En ?Enl
b/ Xột trạng thái E > 0:
Phương trình (16) hữu hạn ở r ? 0 và giới nội ở r ? ? với mọi E. Do dú phổ E liên tục.
2.3. H�m súng
Hàm sóng của điện tử trong nguyên tử hydro
TD: R10(r)= 2(z/aB)3/2 exp(-zr/aB)
(22)
108
~ Suy biến theo m là hệ quả của tính chất đối xứng cầu của trường xuyên tâm.
~ khi đặt vào từ trường ngoài , En ? Enlm (mất suy biến theo m).
109
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm quang phổ và sự phân bố điện tử quanh hạt nhân của nguyên tử hydro.
Sự phân bố điện tử và phổ năng lượng trong nguyên tử hydro.
So sánh kết qua cơ học lượng tử với lý thuyết chưa đầy đủ Bohr.
Các lượng tử số n, l, m..
Bài tập 2. 10, 2.11, 2.14, 2.18, 2.20, 2.21.
110
III. Dao động tử điều hoà
Xét chuyển động của hạt vi mô m, chuyển động dọc Ox, thế năng
Trong Cơ học cổ điển hạt này thực hiện dao động điều hoà với
tần số góc
Trong Cơ học lượng tử hệ đó là dao động tử điều hoà.
Phương trình Schrửdinger
(23)
(24)
(25)
111
Đặt
và dùng
ta viết lại phương trình (25)
Hàm sóng giới nội khi x? ?? nếu
? = 2n +1 (28)
n = 0, 1, 2, 3, .
(26)
(27)
112
Năng lượng en của dao động tử điều hoà:
với n=0
là năng lượng th?p nh?t c?a DDTDH- g?i l� NL khụng.
S? t?n t?i nang lu?ng th?p nh?t E0 ch? cú th? lý gi?i trờn co
s? LTLT g?n v?i h? th?c b?t d?nh gi?a to? d? v� xung lu?ng.
- Do gốc năng lượng có thể được lựa chọn một cách tuỳ ý, nên có thể quy ước chọn E0 làm gốc tính năng lượng.
Khi đó, DDTDH ch? cú th? cú nang lu?ng l� b?i s? c?a nang lu?ng h?
? Giả thuyết Planck: NL c?a 1 ddtdh b?ng m?t b?i s? nguyờn c?a lu?ng t? nang lu?ng h?
(29)
(30)
113
Tóm tắt
Các trạng thái dừng của DDTDH có năng lượng gián đoạn cách đều nhau
N?u coi trạng thái ?0 với E0 thấp nhất- khụng ch?a LTNL n�o
Thỡ tr?ng thỏi ?1 với l� k?t qu? c?a vi?c thờm 1 LTNL v�o tr?ng thỏi ?0. ?1 ch?a 1 LTNL
Tr?ng thỏi ?2 với l� k?t qu? c?a vi?c thờm 2 LTNL v�o tr?ng thỏi ?0.. ?2 ch?a 2 LTNL.
.....Tr?ng thỏi ?n nang lu?ng En = n h? ch?a n LTNL.
So sánh v?i CHCD: Emin = 0, h?t ko chuy?n d?ng ? ph?m vi U>E (T<0)
Trong CHLT: , cú xỏc su?t tỡm th?y h?t vi mụ trong vựng E
114
Vấn đề trao đổi - Bài tập
Đọc thêm chứng minh để phương trình (27) có nghiệm giới nội khi x ? ?? , ? phải thoả mãn (28).
Bài tập 2.13, 2.17.
Tỡm ph? nang lu?ng c?a DDTDH b?ng phuong phỏp d?i s? qua bi?u di?n s? h?t.
115
IV. Điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể
4.1.Mạng Bravais v� m?ng d?o
Tinh thể là vật thể có cấu trúc bên trong theo quy luật: các hạt phải tự sắp xếp để trên khoảng rất rộng có trật tự cách nhau r0.
Dạng chuyển động duy nhất của hạt là dao động quanh vị trí cân bằng.
Phép tịnh tiến VR : với mọi
Tinh thể có tính bất biến (đối xứng) đối với phép tịnh tiến
theo trục Ox, Oy, Oz nghĩa là mỗi ng.t dời đến ng.t khác cùng loại-tt (vô hạn) sang vị trí trùng khit vị trí cũ
Có nhiều cách chọn hướng, nói chung không vuông góc.
là vectơ ngắn nhất theo mỗi hướng thì
n1, n2, n3 : số nguyên
116
H×nh 8.2 H×nh 8.3
Tinh thÓ bÊt biÕn mµ
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
a1
a2
P
Q
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
(31)
117
tạo thành nhóm tịnh tiến, với quy tắc nhân sau:
? Mạng Bravais: tập hợp các điểm (31) tạo thành mạng
không gian - mạng B - 14 loại mạng B
Nút mạng : đầu mút véc tơ
Vectơ cơ sở của mạng B:
Hằng số mạng:
ô cơ sở là thể tích không gian mà:
* Khi thực hiện mọi phép tịnh tiến (31) thì t?p h?p t?t c? cỏc ụ thu du?c t? ụ ban d?u s? lấp đầy toàn bộ không gian
*M?i ụ ch? ch?a 1 nỳt m?ng
. ô Wigner-Seitz: một trong các cách chọn ô cơ sở nổi tiếng, có đầy đủ tính đối xứng của m?ng Bravais- g?i l� ụ co s? dx?ng
118
M?NG D?O
Xột cỏc vộc to K trong khụng gian vộc to súng tho? món dk:
V?i m?i R xỏc d?nh theo cụng th?c
Di?m cu?i c?a cỏc vộc to nhu th? cung tạo thành mạng trong không gian vectơ sóng - g?i l� mạng đảo
- ễ Wigner c?a m?ng d?o l� vùng Brillonin thứ nhất -B?ng cỏch t?nh tiờn vựng 1.B cỏc do?n b?ng vộc to K c?a m?ng s? thu du?c cỏc vựng B b?c cao.
(32)
(33)
(34)
119
Thí dụ mạng B (thực) mạng đảo
Hằng số mạng a ?
Thể tích ô cơ sở ? ?
4.2.Hàm sóng của điện tử trong trường tuần hoàn
Xét chuyển động của điện tử kh?i lu?ng m trong trường thế V(r) không đổi của tinh thể tuần hoàn
Phương trình Schrodinger
Do tớnh tu?n ho�n c?a tinh th?
(35)
(36)
120
L�m phộp thayth?: r bởi r +R
Sử dụng tính tuần hoàn của thế năng (36) ta có:
Tức là 2 hàm sóng và cùng thoả mãn một phương trình (35= 38). Cú th? x?y ra 2 tru?ng h?p.
a- Trường hợp không suy biến: phải tỉ lệ với . Ta viết
(37)
(38)
(39)
121
Chọn hệ số tỉ lệ dạng v?i ?(r) l� h�m th?c c?a r vì :
? là hàm tuyến tính của , nghĩa là có m?t vộc to mà
Thay vào (39) nhận được dạng hàm sóng
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Dương Quốc
Dung lượng: |
Lượt tài: 0
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)